Kann ich aus fgh = f und hgj = j folgern, dass g und h zueinander invers sind?

Question

Gegeben sind Abbildungen f,g,h,j.

Kann ich aus $$f \circ g \circ h = f$$ und $$h \circ g \circ j = j$$ folgern, dass g und h zueinander invers sind?

f und j sind nicht invertierbar. Bzw. falls ich das nicht folgern kann, mit welcher zusätzlichen Bedingung könnte ich das erreichen?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Um aus f o g o h = f zu folgern dass g o h = id musst du f von links kürzen können, dass geht genau dann wenn f injektiv ist

Für h o g o j = j => h o g = id folgern zu können muss j rechts kürzbar sein, das ist genau dann der Fall wenn j surjektiv

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Alles klar, danke!

Answer 1

Wenn \(f = j = 0\) ist, dann genügt \(g(0) = h(0) = 0\) für \(f \circ g \circ h = f\) und \(h \circ g \circ j = j\).