Wieso muss man für die Kostenfunktion die Umkehrfunktion der Produktionsfunktion nutzen?

Question

Aufgabe:

Für ein Unternehmen existiert eine lineare Produktionsfunktion \( x=f(r)= \) \( 0,08 r-50 \). Der konstante Faktorpreis betrage \( q=2 \). Für die Produktion des Gutes wird nur dieser eine Produktionsfaktor benötigt. Für das Gut liegt die Preis-Absatz-Funktion \( p(x)=-4 x+225 \) vor.

a) Bestimmen Sie die Gesamtkosten-, die Grenzkosten- und Durchschnittskostenfunktion.

Problem/Ansatz:

Wieso muss man für die Kostenfunktion, die Umkehrfunktion der Produktionsfunktion nehmen??

a) \( f^{-1}(x)=r=12,5 x+625 \Rightarrow K(x)=f^{-1}(x) \cdot q=25 x+1250 ; K^{\prime}(x)= \)

\( 25 ; k(x)=K(x) / x=25+1250 / x \)

Comments

Für ein Unternehmen existiert eine lineare Produktionsfunktion \( x=f(r)= \) \( 0,08 r-50 \).

Kannst du mit eigenen Worten in 1 bis 2 Sätzen formulieren, was diese Funktionsgleichung aussagt?

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Entschuldigung, das sollte eigentlich keine Antwort, sondern nur ein Kommentar sein.

Irgendjemand hat mir binnen Sekunden darauf schon einen Pluspunkt gegeben.

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ja, ich denke, x gibt den Output an und r die Faktoreinsatzmenge, also wird x an Output generiert, wenn man r Inputfaktoren einsetzt.

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Und die Umkehrfunktion gibt dann an, welchen Input man bei vorgegebenem Output einbringen musste.

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Und wieso braucht man die Funktion für die Kostenfunktion?

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Wenn man 1000 Kochtöpfe produzieren will, sind die aufzuwendenden Kosten dafür sicher höher, als wenn man nur 100 Kochtöpfe produziert.

Also braucht man für die Kostenfunktion durchaus eine Information darüber, wie viele Kochtöpfe (das, was ihr hochtrabend "output" nennt) produziert werden.

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Achsoo, danke das Beispiel hat geholfen! Vielen Dank!!

Answer 1

x ist ja wohl die Menge der produzierten Artikel

und r sind die Ressourcen, die man zur Produktion braucht

also der Faktormengeneinsatz.  Diese Faktormengen

kosten ja was, nämlich in deinem Fall 2GE pro Stück.

Also sind die Kosten r*q.

Und wenn das von der Menge x, der produzierten Artikel

abhängig gemacht werden soll, (nämlich K(x)  ) ,

muss man also aus dem x erst mal das r bestimmen

und dieses dann mal q nehmen.

Answer 2

x = f(r) = 0.08·r - 50

Für einen Einsatz von r ME vom Inputfaktor erhält man x = 0.08·r - 50 ME vom Outputfaktor.

x = 0.08·r - 50
x + 50 = 0.08·r
(x + 50)/0.08 = r
r = (x + 50)/0.08 = x/0.08 + 50/0.08 = 12.5·x + 625

Bzw. für x ME vom Outputfaktor benötigt man r = 12.5·x + 625 ME vom Inputfaktor

Da ein Inputfaktor r einen Preis von q hat lautet die Kosten in abhängigkeit von Inputfaktor r

K(r) = q·r = 2·r

Die Kosten werden allerdings in abhängigkeit zum Outputfaktor x angegeben. Und dazu wird das r in der jetztigen Kostenfunktion durch die Menge r = 12.5·x + 625 ME welche ich für die Herstellung von x ME vom Output benötige.

K(x) = 2·r = 2·(12.5·x + 625) = 25·x + 1250

Damit hat man dann die Kosten in Abhängigkeit vom Outputfaktor x