Aufgabe:
Sei \( f \) eine Funktion.
a) Zeigen Sie, dass \( \bar{f}(x):=f(x) / x \) nur dort einen Extremwert haben kann, wo \( \left|\varepsilon_{f(x), x}\right|=1 \) gilt.
b) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit \( f^{\prime}(x)=\varepsilon_{f(x), x} \) gilt?
Lösung:
a)
\( \begin{aligned} \frac{d}{d x} \bar{f}(x) &=\frac{f^{\prime}(x) \cdot x-f(x)}{x^{2}}=0 \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{f(x)}{x} \Longleftrightarrow \\ \left|\varepsilon_{f(x), x}\right| &=\left|f^{\prime}(x) \cdot \frac{x}{f(x)}\right|=\left|\frac{f(x)}{x} \cdot \frac{x}{f(x)}\right|=1 \end{aligned} \)
Tipp: Das \( \Longleftrightarrow \) nicht in einem Schritt überlegen: Erst die Folgerungen von oben links nach unten rechts überlegen und dann von unten rechts nach oben links.
b) Gemäß Definition gilt \( \varepsilon_{f(x), x}=f^{\prime}(x) \cdot \frac{x}{f(x)} \). Es gilt \( f^{\prime}(x)=\varepsilon_{f(x), x} \), wenn \( x=f(x) \) ist oder \( f^{\prime}(x)=0 \).
Problem/Ansatz:
Kann jemand inWorte fassen, was hier genau geschieht und was gemacht wird?
