Folge Kürzen Aufgabe (Grenzwert)

Question

Hallo, ich hoffe ihr könnt mit behilflich sein, die Folge

\( \frac{(-k+\frac{1}{k})^4}{(2k^2-k)^2} \), zu Kürzen ich weiß leider nicht, wie ich vorgehen soll...

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@ Hellokitty Stellt dein Browser denn die Brüche in den Antworten und in deiner Frage korrekt und gut lesbar dar? Grenzwert bestimmen und kürzen ist nicht prinzipiell dasselbe. Wo siehst du eine Wurzel? (Einer deiner Tags ist Wurzel) . Geht denn k gegen unendlich?

Answer 1

\( \frac{(-k+\frac{1}{k})^4}{(2k^2-k)^2} =  \frac{(-k+\frac{1}{k})^4}{((2k-1)\cdot k)^2}  =  \frac{(-k+\frac{1}{k})^4}{(2k-1)^2 \cdot k^2} \)

Jetzt mit k^4 kürzen

\(   =  \frac{(-1+\frac{1}{k^2})^4}{   \frac {(2k-1)^2}{k^2} }   =  (-1+\frac{1}{k^2})^4 \cdot   \frac {k^2}{(2k-1)^2} =  (-1+\frac{1}{k^2})^4 \cdot \frac {k^2}{4k^2 -4k + 1}  \)

also Grenzwert 0,25.

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woher weiß ich, dass 0,25 der Grenzwert ist?

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ich kann die Rechenschritte nicht nachvollziehen

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woher weiß ich, dass 0,25 der Grenzwert ist?

Die klammer hoch 4 geht gegen 1.

Den Bruch dahinter mit k^2 kürzen, dann siehst du es.

Welche Rechenschritte sind denn unklar ?

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Also, ich verstehe generell nicht wie man auf die Rechenschritte kommen soll, generell gesehen, wie man da vorgeht etc...

Answer 2

Hallo,

es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Term zu bearbeiten.

(1) Zuerst fällt mir auf, dass im Zähler und Nenner gerade Exponenten stehen.

(2) Wenn ich "hoch 2" außerhalb der Klammer schreibe, ist der Term einfacher zu bearbeiten.

(3) Als nächsten Schritt multipliziere ich den Zähler aus.

(4) Dann kürze ich durch k^2.

\( \dfrac{(-k+\frac{1}{k})^4}{(2k^2-k)^2}~~~~(1) \\=\left(\dfrac{(-k+\frac{1}{k})^2}{2k^2-k}\right)^2~~~~(2)\\= \left(\dfrac{k^2-2+\frac{1}{k^2}}{2k^2-k}\right)^2~~~~(3)\\=\left(\dfrac{1-\frac{2}{k^2}+\frac{1}{k^4}}{2-\frac{1}{k}}\right)^2~~~~(4)\)

Wenn jetzt \(k\to\infty\) geht, bleibt \(\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14\) als Grenzwert.

:-)

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Danke! Gibt es eine "Formel" oder etwas bestimmtes wie ich es mir aneignen kann, den Term zu lösen?... ich tue mich damit immer schwer

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Hallo,

eine Formel dazu kenne ich nicht.

Am besten guckst du dir den Term an und überlegst, ob du ihn irgendwie umformen kannst.

Bei Bruchtermen kommt es darauf an, ob die Variable im Zähler und Nenner den gleichen oder unterschiedliche höchste Exponenten hat.

Dann musst du gucken, wie du weiterkommst.

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Oke, Danke! dann werde ich es mal üben