Masse des Kegelstumpfs

Question

Text erkannt:

Wir betrachten in den Fragen auf dieser Seite einen Kegelstumpf mit inhomoger Dichteverteilung in dimensionsbehafteten Größen (SI-Einheiten).
Die Grundfläche des Kegelstumpfs hat den Radius \( r_{1}=0,023 \mathrm{~m} \) und liegt in der \( x y \)-Ebene. Die obere Fläche liegt in einer Höhe \( h=0,022 \mathrm{~m} \) über der Grundfläche und hat einen Radius \( r_{2}=0,009 \mathrm{~m} \).
Die Dichteverteilung in diesem Kegelstumpf ist durch die Funktion
\( \rho(\vec{r})=2 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{3}}+1,2 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{4}}\left(x+r_{1}\right)+0,9 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{5}} z^{2} \)
gegeben.
Berechnen Sie nun zunächst die Masse M des Kegelstumpfs und wählen Sie die richtige Antwort (geg. in Kilogramm (kg)) aus!
88,1
106
97,1
115
79,1

Aufgabe:

Masse M eines Kegelstumpfes mithilfe der Dichtefunktion berechnen.

Problem/Ansatz:

Hallo! Ich sitze schon seit mehreren Stunden bei dieser Aufgabe fest und weiß wirklich nicht wie ich anfangen soll. Meine Ergebnisse sind leider immer ganz weit von den gegebenen entfernt. Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir brauchen zuerst einen Ortsvektor \(\vec r\) zum Abtasten des Kegelstumpf-Volumens. Dafür bieten sich Zylinderkoordinaten an:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in\left[0\,\bigg|\,r_1-\frac{r_1-r_2}{h}\,z\right]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in[0|h]$$Mit dem Volumenelement \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\) und der angegebenen Dichtefunktion können wir das Integral für die Masse \(M\) bestimmen:$$M=\int\limits_V\vec\rho(\vec r)\,dV=\int\limits_{r=0}^{r_1-\frac{r_1-r_2}{h}z}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^h\left(2+1,2(r\cos\varphi+r_1)+0,9z^2\right)r\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{M}=\int\limits_{r=0}^{r_1-\frac{r_1-r_2}{h}z}\int\limits_{z=0}^h\left[2\varphi+1,2(r\sin\varphi+r_1\varphi)+0,9z^2\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}r\,dr\,dz$$$$\phantom{M}=\int\limits_{r=0}^{r_1-\frac{r_1-r_2}{h}z}\int\limits_{z=0}^h\left(4\pi+1,2r_1\cdot2\pi+0,9z^2\cdot2\pi\right)r\,dr\,dz$$$$\phantom{M}=\int\limits_{z=0}^h\left[2\pi\left(2+1,2r_1+0,9z^2\right)\,\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{r_1-\frac{r_1-r_2}{h}z}\,dz$$$$\phantom{M}=\int\limits_{z=0}^h\left[2\pi\left(2+1,2r_1+0,9z^2\right)\,\frac12\left(r_1-\frac{r_1-r_2}{h}z\right)^2\right]\,dz$$

Vor dem Weiterrechen würde ich gerne die Terme durch EInsetzen der Werte für die Parameter verweinfachen. Die Längen müssen dazu in \(\mathrm{cm}\) umgerechnet werden:$$r_1=2,3\quad;\quad r_2=0,9\quad;\quad h=2,2$$Damit wird das Integral zu:$$\phantom{M}=\int\limits_{z=0}^{2,2}\left[\pi\left(4,76+0,9z^2\right)\left(2,3-\frac{7}{11}z\right)^2\right]\,dz$$Die Freude, dieses Integral zu berechnen, möchte ich dir nicht nehmen...

Zur Kontrolle, das Ergebnis ist \(\boxed{M=106\,\mathrm{kg}}\).

Comments

Vielen Dank! Jetzt versteh ich es :)