Berechnen Sie das Oberflächenintegral (Kugelkappe)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Kugelkappe

\( S=\left\{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, z \geq 1\right\} \)

und das Vektorfeld

\( \mathbf{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ \frac{x}{2} z^{2} \\ x \end{array}\right) \)

a) Skizzieren sie die Fläche \( S \) und den Flächenrand \( \partial S \).

b) Berechnen Sie das Oberflächenintegral

\( \int \limits_{S}\langle\operatorname{rot} \mathbf{v}, \mathbf{n}\rangle \mathrm{d} \sigma \)

mit Hilfe eines geeigneten Integralsatzes. Der Normalenvektor \( \mathbf{n} \) an der Kugeloberfäche sei nach innen gerichtet.

Hinweis: Wenden Sie den Integralsatz nicht nur einmal, sondern zweimal an um so über eine geeignetere Fläche \( \bar{S} \) zu integrieren.

Ansatz/Problem:

Ich verstehe nicht ganz wie ich die Kugelkappe parametrisieren muss. Mir ist klar, dass ich den Integralsatz von Stokes nehmen muss, aber ind der Aufgabe steht das man den zweimal anwenden soll, das verstehe ich auch nicht.

Answer 1

Aloha :)

Es handelt sich hier um eine Kugel mit Radius \(r=2\) mit Mittelpunkt im Koordinaten-Ursprung. Die Kappe \(S\) liegt oberhalb der Ebene \(z=1\). Der Rand der Kappe \(\partial S\) ist ein Kreis in der Ebene \(z=1\) mit Mittelpunkt auf der \(z\)-Achse und Radius \(r=\sqrt3\), denn nach Pythagoras muss \(r^2+z^2=2^2\) gelten.

Das zu bestimmende Oberflächenintegral führen wir mit dem Stoke'schen Satz \(d\vec f\times\nabla=d\vec r\) auf ein Wegintegral über den Rand zurück:$$I=\int\limits_S\operatorname{rot}\vec v\cdot d\vec f=\int\limits_S(\nabla\times\vec v)\,d\vec f=\int\limits_S(d\vec f\times\nabla)\vec v=\oint\limits_{\partial S}d\,\vec r\,\vec v$$

Anstatt über den Rand \(\partial S\), also über den Rand der beschriebenen Kreisfläche zu integrieren, wenden wir nun den Stoke'schen Satz erneut an, um über die Kreisfläche integrieren zu können. Deren Normalenvektor ist nämlich einfach \(\vec e_z=(0;0;1)^T\) sodass:$$I=\int\limits_{\text{Kreis}}\operatorname{rot}\vec v\,d\vec f=\int\limits_{\text{Kreis}}\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\xz^2/2\\x\end{pmatrix}\cdot d\vec f=\int\limits_{\text{Kreis}}\begin{pmatrix}-xz\\-1\\\frac{z^2}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}df=\int\limits_{\text{Kreis}}\frac{z^2}{2}\,df$$Wir wissen, dass \(z=1\) fest ist und der Radius des Randkreises \(\sqrt3\) beträgt, daher können wir ohne Parametrisierung direkt angeben:$$I=\frac12\int\limits_{\text{Kreis}}df=\frac12\cdot F_{\text{Kreis}}=\frac12\cdot3\pi=\frac32\pi$$