Wie berechnet man die Oberfläche beliebiger Körper

Question

Weiß jemand wie man die Oberfläche von gekrümmten körpern durch Integration ausrechnen kann. Vielleicht doppelintegrale oder Oberflächenintegrale, doch ich habe den Sinn und auch Möglichkeiten nicht verstanden...

Als beispiel wenn man eine Querschnittsfläche eine Parabel ( also kein geschlossener Körper) oder ähnliches als Oberfläche hat und die Länge durch irgendeine ganzrationale Funktion gegeben ist.

  

Answer 1

Es ist möglich, dass du die Oberfläche von Rotationskörpern meinst. Vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationskörper

√(1 + (f ' (x))^2 )dx kannst du dir als Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks vorstellen. Das ist eine Näherung der Länge der Kurve. Sie wird multipliziert mit 2π f(x), was dem Umfang des Zylinderstücks entspricht, dessen Mantel berechnet wird.

Mehr Flächen vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Fläche_(Mathematik)

Comments

Danke erstmal für die Antwort, doch Rotationsflächen sind ja spezielle Flächen und funktionieren nur, wenn man einen Körper haat, der in irgendeiner Weise durch Drehung entstanden ist... Daran habe ich aber auch schon gedacht.

Ich suche eigentlich einen Weg beliebige Körper zu untersuchen, von dem jeweils die querschnittsfläche und die länge bekannt ist.

---

Mach vielleicht mal ein konkretes Beispiel, bei dem man versteht, wie da der Querschnitt und die Länge zusammenhängen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fläche_(Mathematik)

---

Z.B: man hat eine Querschnittsfläche von y=x^2 im Intevall [-2;4] und die querschnittsfläche liegt entlang einer Funktion y= sin(x). die querschnittsfläche bleibt entland der Kurve gleich

---

und die querschnittsfläche liegt entlang einer Funktion y= sin(x). 

Verstehe ich leider nicht. Braucht es da nicht eine zusätzliche Dimension? Also z.B. z=sin(x)?

Querschnittsfläche von y=x² im Intervall [-2;4]
x in diesem Intervall, y zwischen 0 und 16.

---

eine extra dimension habe ich mir auch überlegt, habe dazu aber noch keine allgemein gültige Formel gefunde...

---

Versuche vielleicht mal die Links auf dieser Seite: https://www.wolframalpha.com/input/?i=surface+integral