Hallo ich mache grade einige Aufgaben im Internet und wollte fragen ob diese Lösung richtig ist:
Aufgabe: Konvergiert die Folge (an) mit an= n/n+1? Wenn ja gegen welchen Grenzwert?
;Meine Lösung:
Grenzwert finden: für n große Zahlen einsetzen. n=10 -> 0,5, n=100 -> 0,99 -> n = 1000 = 0,99
Behauptung: Die Folge konvergiert gegen 1
Beweis:
|an-a|=|n/n+1 -1| = |n/n+1 - n+1/n+1| = |1/n+1| = 1/n+1
Nach dem archimedischen Axiom gibt es ja für alle Epsilion (E) > 0 ein n aus den natürlichen Zahlen mit n>0: 1/n < E
-> ("Richtiger Beweis"): Sei E>0 beliebig. Nach dem archimedischen Axiom gibt es ein n aus den natürlichen Zahlen mit 1/n <E. Wähle N = 1/E. Für alle n>= N gilt:
|an-a|=|n/n+1 -1| = |n/n+1 - n+1/n+1| = |1/n+1| = 1/n+1 < 1/n <=1/N < E
Explizit möchte ich wissen ob man die Abschätzung 1/n <1/N < machen darf, da ja das gegeben ist ( weil n>= N)