Konvergiert die Folge (an) mit an= n/n+1?

Question

Hallo ich mache grade einige Aufgaben im Internet und wollte fragen ob diese Lösung richtig ist:

Aufgabe: Konvergiert die Folge (an) mit an= n/n+1? Wenn ja gegen welchen Grenzwert?

;Meine Lösung:

Grenzwert finden: für n große Zahlen einsetzen. n=10 -> 0,5, n=100 -> 0,99 -> n = 1000 = 0,99

Behauptung: Die Folge konvergiert gegen 1

Beweis:

|an-a|=|n/n+1 -1| = |n/n+1 - n+1/n+1| = |1/n+1| = 1/n+1

Nach dem archimedischen Axiom gibt es ja für alle Epsilion (E) > 0 ein n aus den natürlichen Zahlen mit n>0: 1/n < E

-> ("Richtiger Beweis"): Sei E>0 beliebig. Nach dem archimedischen Axiom gibt es ein n aus den natürlichen Zahlen mit 1/n <E. Wähle N = 1/E. Für alle n>= N gilt:

|an-a|=|n/n+1 -1| = |n/n+1 - n+1/n+1| = |1/n+1| = 1/n+1 < 1/n <=1/N < E

Explizit möchte ich wissen ob man die Abschätzung 1/n <1/N < machen darf, da ja das gegeben ist ( weil n>= N)

Comments

Bei Deiner Folge fehlen Klammern.

Answer 1

\(\begin{aligned} n \geq N \iff \frac{1}{N} \geq \frac{1}{n}\end{aligned}\),

es ist also \(\leq\) und nicht \(<\) wie in deiner unteren Frage.

Answer 2

Ich würde das so angehen:

Kürzen mit n:

-> 1/(1+1/n) = 1 für n -> oo

oder so argumentieren:

Für große n kann man die 1 vernachlässigen -> n/n =1

Answer 3

1 - n/(n + 1) < ε

1 - ε < n/(n + 1)

(1 - ε)·(n + 1) < n

(1 - ε)·n + 1 - ε < n

1 - ε < n - (1 - ε)·n

1 - ε < n·ε

(1 - ε)/ε < n

n > (1 - ε)/ε = 1/ε - 1