Normalform einer Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ R^3x3 gegeben durch

A = (

0	α	β
-α	0	γ
-β	-γ	0

)

a) Berechnen Sie die Normalform von A.

b) Bestimmen Sie den Rang der Matrix A in Abhängigkeit von α, β, γ ∈ R.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir bei der Aufgabe nicht wirklich sicher welche Normalform gemeint ist. Eigentlich würde ich sagen, dass die Jordan-Normalform gemeint ist. Allerdings haben wir die genaue Bestimmung noch nicht behandelt. Ist hier eventuell auch eine andere Form gemeint?

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass die Zeilenstufenform gemeint ist. Die Jordan-Normalform wäre ∈ ℂ^3x3  

\(\left(\begin{array}{rrr}1&0&\frac{-a23}{a12}\\0&1&\frac{a13}{a12}\\0&0&0\\\end{array}\right)\)

da kann man auch alles ablesen, was Du wissen sollst...

Comments

Wie genau bist du auf die Zeilenstufenform gekommen? Man hat ja keinerlei Informationen zur Beziehung zischen α, β und γ. Und wieso unterscheidest du zwischen den unterschiedlichen α? Haben diese nicht immer den gleichen Wert?

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Ich hab jetzt einfach den Matrixindex genommen, a12 = α, a13=β, a23=γ (ist einfacher zu schreiben)

Die Operationenreihenfolge

T:tausch, E(z,s,f,n): Zeilez += f Zeile s

IP:={E(2,2,1/a12,3),E(1,1,-1/a12,3),E(3,2,a23/a12,3),T(1,2,3), E(3,2,-a13/a12,3)}

oder als Elementarmatrizen

\(\scriptsize IP \, :=  \, \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&\frac{1}{a12}&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}\frac{-1}{a12}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{a23}{a12}&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{-a13}{a12}&1\\\end{array}\right) \right\} \)

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Ok vielen Dank jetzt habe ich auch den Ansatz zur Lösung verstanden.