Unstetigkeitsstellen finden und veranschaulichen

Question

Aufgabe:

Menge aller Unstetigkeitsstellen finden und veranschaulichen

f(x,y)=\( \frac{x^{2} + y^{2}}{(x+y) (y^{2} -x)} \)

Problem/Ansatz:

Normalerweißte benutzt man hier eine Annäherung y=m\( x^{n} \), je nachdem welche Exponenten man hat.

Hier hat man aber unterschiedliche vielfache der exponenten. Zähler und erste Klammer im Nenner sind *1, die zweite Klammer ist jedoch unterschiedlich. Hier man man y als doppelt so große Potenz im Vergleich zu x

Wie nähert man hier an, oder geht man hier ganz anders an die Aufgabe ran?

Answer 1

hallo

der Zähler wird da Summe von Quadraten nur für x=y=0 Null.

Nenner wird 0 bei den beiden Klammern 0 da ist also immer unstetig.  Du kannst ja x=-y in den Zähler schreiben , entsprechen x=y^2 und dann untersuchen,.

da ist die funktion sicher unstetig, was du mit y=mx^n meinst verstehe ich nicht ganz, das kann man ja nur für wenige Funktionen ?

Comments

Deswegen mache ich auch eine Fallunterscheidung ob der Bereich (0,0) ist oder außerhalb.

Der Bereich auserhalb ist selten das Problem.

was ich mit dem mx meine:

z.b. \( \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \)

Hier sind im Zähler als auch Nenner die Exponenten gleich, also wird y=mx gesetzt

Dann lässt man x->0 und y->mx und man erhält \( \frac{1-m^{2}}{1+m^{2}} \)

Dann ist der wert für m=1 0 und für m=0 1 weshalb es an der Stelle nicht stetig ist.

Aber das geht hier nicht, da verschiedene exponenten vorhanden sind, wie mache ich das dann?

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Das von dir benannte Vorgehen mit y=mx untersucht, welchen Grenzwert es bei Annäherung an die Stelle (0|0) bei einer beliebigen geradlinigen Annäherung ergibt.

(Kleines Manko: Die Annäherung entlang der y-Achse wird so nicht beschrieben, weil sich diese nicht mit einem Anstieg m beschreiben lässt.)

Du kannst ansonsten durchaus den Term\( \frac{x^{2} + y^{2}}{(x+y) (y^{2} -x)} \)unter der Annahme y=mx untersuchen.

Hat \( \frac{x^{2} + (mx)^{2}}{(x+mx) ((mx)^{2} -x)} \) für jedes m den gleichen Grenzwert für x gegen Null?

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Immer 0 oder nicht? Ich kann wegen den verschiedenen exponenten nicht wie oben alle x rauskürzen, also bleiben immer x neben dem m stehen. Dann wird das doch immer 0?

Die Lösung sagt: f ist stetig in \( \vec{a} \) -> definiert auf "unleserlich" ( \( \vec{a} \) )  und lim f(\( \vec{x} \) ) ->\( \vec{a} \) = f(\( \vec{a} \) )

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Klammere im Zähler x² aus.

Multipliziere den Nenner aus und klammere dann x^3 aus.

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 \( \frac{1+m^{2}}{-1-m} \) oder nicht?

Hab aber nur \( x^{2} \) sowohl im zähler als auch Nenner ausgeklammert da im Nenner manche Summanden als höchste Potent nur die 2 hatten. 2 von den 4 Summanden vielen dann weg, die verbleibenden 2 sind dann -1-m.

Dann wäre es für m=0 1, m=1 0 und m=-1 undefiniert. was schließe ich daraus?

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Hab aber nur \( x^{2} \) sowohl im zähler als auch Nenner ausgeklammert

Kannst du machen. Der Nenner nach dem Ausmultiplizieren hat als höchste Potenz den Summanden (m²+m³)x³ und noch etwas Kleckerkram geringerer Potenz.Nach dem Kürzen von x² hast du im Zähler 1+m², aber im Nenner immer noch einen nicht weggekürzten Faktor x.
Für m≠0 kannst du somit nur noch überlegen, ob der Spaß gegen plus oder minus unendlich geht.

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Wie kann ich das dann "veranschaulichen"? Normal kommt dann sowas wie dass z.B. eine gerade alle Stellen enthält, aber was ist es hier?