Ist f:ℂ→ℂ, z→|z| eine lineare Abbildung?

Question

Hallo, kann mir jemand bitte bei der folgenden Aufgabe helfen?:

Ist f:ℂ→ℂ, z→|z| eine lineare Abbildung?

Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

Nein, die Abbildung ist nicht linear.

Du kannst mit einem Gegenbeispiel zeigen, dass die Additivität nicht gilt.$$f(1)=|1|=1\quad;\quad f(i)=|i|=1\quad;\quad f(1+i)=|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$$$$\implies\quad\underbrace{f(1+i)}_{=\sqrt2}\ne\underbrace{f(1)+f(i)}_{=2}$$

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Vielen Dank!

Answer 2

\(f((-1)\cdot 1)=f(-1)=1\neq -1=(-1)\cdot f(1)\), also nicht linear.

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Vielen Dank!