Hallo, kann mir jemand bitte bei der folgenden Aufgabe helfen?:
Ist f:ℂ→ℂ, z→|z| eine lineare Abbildung?
Wie muss ich vorgehen?
Aloha :)
Nein, die Abbildung ist nicht linear.
Du kannst mit einem Gegenbeispiel zeigen, dass die Additivität nicht gilt.f(1)=∣1∣=1;f(i)=∣i∣=1;f(1+i)=∣1+i∣=12+12=2f(1)=|1|=1\quad;\quad f(i)=|i|=1\quad;\quad f(1+i)=|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2f(1)=∣1∣=1;f(i)=∣i∣=1;f(1+i)=∣1+i∣=12+12=2 ⟹ f(1+i)⏟=2≠f(1)+f(i)⏟=2\implies\quad\underbrace{f(1+i)}_{=\sqrt2}\ne\underbrace{f(1)+f(i)}_{=2}⟹=2f(1+i)==2f(1)+f(i)
Vielen Dank!
f((−1)⋅1)=f(−1)=1≠−1=(−1)⋅f(1)f((-1)\cdot 1)=f(-1)=1\neq -1=(-1)\cdot f(1)f((−1)⋅1)=f(−1)=1=−1=(−1)⋅f(1), also nicht linear.
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