Geben Sie die Richtung des Gradienten an

Question

Aufgabe:

Sei \(f(x,y):=3x-5y\). Zeichnen Sie für f die Höhenlinien zu den Funktionswerten c1=5, c2=0 und c3=-10. Heften Sie in den Punkten P1=(0,-1)^T, P2=(5,3)^T und P3=(-5,-1)^T jeweils die Richtung des Gradienten an.

Problem/Ansatz:

Also die Funktion für die Höhenlinien lautet \(y=\frac{3}{5}x-\frac{c}{5}\), also Geraden. Der Gradient der Funktion ist \(grad f(x,y)= (3,-5) \). Ich verstehe nicht ganz, was mit Richtung des Gradienten gemeint ist. Dazu bräuchte ich eine Erklärung

Answer 1

Eine Gleichung wie

\(y=\frac{3}{5}x-\frac{c}{5}\)

beschreibt im R³ eine Ebene

d.h. z = c die Höhenline eine Gerade, f(x,y)=c, setze y=t

\(h_c(t):=\left(\frac{1}{3} \; c + \frac{5}{3} \; t, t, c \right)\)

Ich weiß nicht, wie ihr "heften" definiert habt, aber wenn man den Gradientenvektor an (z.B.) P2 anhängt würde das aussehen wie

Anschaulich zum Gradient, siehe

https://www.geogebra.org/m/ANaWJE7H