lim x->0 von x^x = 1 beweisen

Question

Aufgabe:

Ich soll beweisen, dass der Grenzwert von:

$$\lim_{x\searrow 0}x^x = 1$$

ist.

Problem/Ansatz:

Das blöde ist wir haben z.B. nicht bewiesen, dass ich bei stetigen Funktionen den lim in den Exponenten ziehen kann, also:

$$\lim_{x\searrow 0}x^x = 1 \iff \lim_{x\searrow 0}e^{x \cdot log(x)} = 1 \iff e^{\lim_{x\searrow 0} x \cdot log(x)} =1 \iff e^0 =1$$

wäre also eine nicht-zulässige Lösung.

Auch die Regel vom L´Hospital hatten wir noch nicht eingeführt, darf ich also auch nicht verwenden.

Jetzt weiß ich irgendwie nicht, wie ich da noch anders rangehen soll.

Ich bedanke mich für jede Form der Hilfe.

Comments

Was darfst du verwenden?

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Aber ihr habt schon Stetigkeit definiert ?

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{x\to0}\left(x^x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac1x\right)^{\frac 1x}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac1n\right)^{\frac1n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1^{\frac1n}}{n^{\frac1n}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}$$

Nun hilft uns der binomische Lehrsatz weiter:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k$$Für \(n\ge2\) können wir aus der Summe die Summanden mit \(k=0\) und \(k=2\) auswählen:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^2=1+\frac{\cancel n\cdot(n-1)}{\cancel 2}\cdot\frac{\cancel 2}{\cancel n}=n$$Auf beiden Seiten die \(n\)-te Wurzel gezogen liefert:$$1+\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}\quad\text{bzw.}\quad\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac{2}{n}}$$Wegen \(n\ge1\) ist auch \(\sqrt[n]{n}\ge1\), sodass:$$1\le\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac2n}\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$

Damit ist nun:$$\lim\limits_{x\to0}\left(x^x\right)=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}=\frac11=1$$

Comments

Dein zweites Gleichheitszeichen setzt die Existenz des Grenzwertes voraus, die doch aber erst gezeigt werden soll.

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Eine Antwort auf diese Frage hätte mich auch interessiert! So halte ich es jedenfalls für unvollständig.

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In der Aufgabe war nicht zu zeigen, dass es einen Grenzwert gibt, sondern dass der Grenzwert gleich \(1\) ist. Die Existenz des Grenzwertes wurde in der Aufgabenstellung bereits vorausgesetzt, so habe ich das zumindest verstanden.

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Das halte ich für eine exotische Interpretation

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So gehen die Interpretationen auseinander ;)

Dir ist es ja ungenommen, eine eigene Antwort zu schreiben.

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Dir ist es ja ungenommen, eine eigene Antwort zu schreiben.

Aus dem bisherigen Monolog entnehme ich, dass Fragesteller kein Interesse mehr hat.

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Aus dem bisherigen Monolog

müße es nicht " Dialog " heißen ?

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Da in diesem thread Wörter eher weitläufig benutzt werden, habe ich mir erlaubt durch die Bezeichnung "Monolog" das Fehlen einer Reaktion des Fragestellers anzudeuten. Ich nehme also 2 Parteien wahr: Den Fragesteller und Hilfsbereite.

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Dann führen also 3 Leute einen Monlog auf.
Müßte es nicht gar Trialog heißen ?

Im übrigen bin ich dafür das Karthago
zerstört werden sollte.

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Im übrigen bin ich dafür das Karthago
zerstört werden sollte.

Welche Alternativen gibt es?