Das Kreuzprodukt zweier Vektoren des ℝ^3 ist ein eindeutig bestimmter Vektor des ℝ^3, der folgende drei Eigenschaften hat :
- seine Länge entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms
- er ist orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren
- er erfüllt eine bestimmte Richtungsbedingung (Rechtsschraube)
Mit der von dir angegebenen Methode lassen sich die Koordinaten dieses Vektors aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren berechnen.
Zu zwei Vektoren des ℝ^2 gibt es aber im Allgemeinen keinen Vektor des ℝ^2, der diese drei Bedingungen erfüllt, insbesondere findet man zu zwei beliebigen Vektoren in einer Ebene keinen in dieser Ebene, der auf beiden senkrecht steht : Es gibt kein Kreuzprodukt in ℝ^2.
Man beachte, dass beim Kreuzprodukt die drei Bedingungen erfüllt werden können, weil die Anzahl der Vektoren um eins kleiner ist als die Dimension des Raumes.
Zu einem Vektor des ℝ^2 gibt es auch einen, der die drei Bedingungen erfüllt (statt "Flächeninhalt des Parallelogramms" wird daraus hier "Länge des Vektors"). Seine Koordinaten berechnet man aus dem gegebenen Vektor \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) zu \( \begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix} \) .
Analog gibt es zu drei Vektoren des ℝ^4 einen der orthogonal zu diesen dreien ist und dessen Länge dem Volumen des von diesen aufgespannten Spats entspricht u.s.w.
Vom Kreuzprodukt spricht man aber immer nur im Falle von zwei Vektoren des ℝ^3.
