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Wie kann ich zwei zweier Vektoren berechnen? Mal angenommen, die beiden Vektoren (-2,3) und (-7,1). Bei 3 Stück, also z.B. (1,2,3) und (4,5,6) schreibe beide Vektoren zweimal untereinander ab und streiche jeweils die erste und letzte Zeile. Wie soll ich das aber nun bei den "zweier" Vektoren machen (da kommen komischerweise 3 Vektoren als Lösung)?

Andere Frage:
Wie kommt man (ohne TR) von 1/2 * \( \sqrt{19^2} \) auf 19/2 ?

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Zur zweiten Frage:

Vereinfache

√(19²) = 19 oder grundsätzlich √(a²) = a für nicht negative a.

Zur ersten Frage: Meinst du das Kreuzprodukt?

Es gibt zwar eine Verallgemeinerung des Kreuzproduktes auf n-dimensionale Vektoren. Die Frage ist dann, wofür du das brauchst?

Also welche Aufgabe probierst du damit zu lösen?

Geht das z.B. um die Fläche könntest du die zweidimensionalen Vektoren ins dreidimensionale übertragen, indem du z.B. z = 0 anfügst.

Du wirst feststellen, dass das Kreuzprodukt damit eigentlich nur zur Determinante wird. Allerdings in der z-Koordinate.

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Ja, richtig Kreuzprodukt von zwei zweier Vektoren.

Zum Beispiel: \( \begin{pmatrix} -2\\3\\ \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -7\\1\\ \end{pmatrix} \). Da kommen aber 3 Vektoren als Lösung raus (0,0,19). Frage ist halt, wie das geht.

Bei zwei dreier Vektoren, z.B. \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 5\\6\\7 \end{pmatrix} \) schreibe ich (1,2,3) zweimal untereinander auf der einen Seite ab und auf der anderen Seite schreibe ich die (5,6,7) zweimal untereinander ab (beides aber in derselben Zeile geschrieben). Dann durchstreiche ich die erste und letzte Zeile und berechne das Kreuzprodukt. So zumindest bei zwei dreier Vektoren, bei zwei zweier Vektoren habe ich da leider keine Ahnung.

(Deine Fragestellung ist immer noch etwas kryptisch).

Die folgende 2*2 Matrix hinschreiben ((-2,3), (-7,1)) ,

und dann die Determinante ausrechnen: (-2*1 - (3*(-7)) = -2 + 21 = 19.

Wenn du z.B. eine Parallelogrammfläche berechnen sollst, musst du bei negativem Resultat noch das Minus im Resultat weglassen.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren des ℝ^3 ist ein eindeutig bestimmter Vektor des ℝ^3, der folgende drei Eigenschaften hat :
- seine Länge entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms
- er ist orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren
- er erfüllt eine bestimmte Richtungsbedingung (Rechtsschraube)

Mit der von dir angegebenen Methode lassen sich die Koordinaten dieses Vektors aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren berechnen.


Zu zwei Vektoren des ℝ^2 gibt es aber im Allgemeinen keinen Vektor des ℝ^2, der diese drei Bedingungen erfüllt, insbesondere findet man zu zwei beliebigen Vektoren in einer Ebene keinen in dieser Ebene, der auf beiden senkrecht steht : Es gibt kein Kreuzprodukt in ℝ^2.


Man beachte, dass beim Kreuzprodukt die drei Bedingungen erfüllt werden können, weil die Anzahl der Vektoren um eins kleiner ist als die Dimension des Raumes.
Zu einem Vektor des ℝ^2 gibt es auch einen, der die drei Bedingungen erfüllt (statt "Flächeninhalt des Parallelogramms" wird daraus hier "Länge des Vektors"). Seine Koordinaten berechnet man aus dem gegebenen Vektor \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)  zu \( \begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix} \) .

Analog gibt es zu drei Vektoren des ℝ^4 einen der orthogonal zu diesen dreien ist und dessen Länge dem Volumen des von diesen aufgespannten Spats entspricht u.s.w.

Vom Kreuzprodukt spricht man aber immer nur im Falle von zwei Vektoren des ℝ^3.

Würde mich auch interisserne.

Ok, nach schön. Wie komme ich denn nun von den zwei zweier Vektoren also von (-2, 3) und (-7,1) auf (0,0,19)?

[a, b, c] ⨯ [d, e, f] = [b·f - c·e, c·d - a·f, a·e - b·d]

[-2, 3, 0] ⨯ [-7, 1, 0] = [3·0 - 0·1, 0·(-7) - (-2)·0, (-2)·1 - 3·(-7)] = [0, 0, -2 - (-21)] = [0, 0, 19]

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Zum Beispiel: \( \begin{pmatrix} -2\\3\\ \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -7\\1\\ \end{pmatrix} \). Da kommen aber 3 Vektoren als Lösung raus (0,0,19). Frage ist halt, wie das geht.

Hallo,

die gegebenen Vektoren werden vermutlich mit der z-Koordinate 0 versehen.

Nach der 3. Zeile entwickeln:

\(\begin{vmatrix}\vec{\imath}&-2&-7\\ \vec{\jmath}&3&1\\ \vec k&0&0 \end{vmatrix}\\=\vec k\cdot(-2\cdot1+3\cdot7)\\= \begin{pmatrix}0\\0\\19\end{pmatrix} \)

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