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Aufgabe:

(Gegebene Funktion:$$f_a(x)=\frac 12x^3-ax^2+\frac12a^2x$$ fa(x)=(1÷2)x^3-ax^2+(1÷2)a^2x)

Die von a abhängigen Extrempunkte von Ga sind \(E_1(a|\,0)\) und \(E_2(\frac a3|\,\frac2{27}a^3)\). Untersuchen Sie, ob es eine reelle Zahl a gibt \((a\ne0)\) für die das Quadrat mit der Seitenlänge \(E_1E_2\) einen extremen Flächeninhalt hat.


Problem/Ansatz:

Es ist schon ein bisschen her, als ich solche Aufgaben berechnet habe. Mein einziger Ansatz ist, dass (E1E2)^2 der Flächeninhalt ist, aber ich habe auch ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich aus den Extrempunkten möglicherweise eine Strecke machen könnte.


Kann mir jemand helfen?

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(a | 0) und (a/3 | 2/27*a^3)

d^2 = (a - a/3)^2 + (2/27·a^3 - 0)^2 = 4/729·a^6 + 4/9·a^2

(d^2)' = 8/243·a^5 + 8/9·a = 0 → a = 0

Es gibt kein reelle Zahl a ≠ 0

Avatar von 488 k 🚀

Könnten Sie mir vielleicht erläutern, warum Sie so gerechnet haben? Ich bin mir nicht sicher, dass ich es nachvollziehen kann.

Was kannst du denn nicht nachvollzierhen

für den quadratischen Abstand zwischen zwei Punkten im Kooerinatensystem gilt nach Pythagoras

P(Px | Py) ; Q(Qx | Qy)

d^2 = (Qx - Px)^2 + (Qy - Py)^2

Das habe ich im Grunde nur verwendet.

https://www.desmos.com/calculator/wfe2ajlcpb

ziehe dem roten Punkt nach rechts. Damit wächst die Strecke zwischen den beiden Extrempunkten kontinuierlich über alle Grenzen. Nach links wird die Strecke bei \(a=0\) zu \(0\) um dann wieder anzuwachsen.

Es gibt augenscheinlich keinen von \(a\) abhängigen Extremum für diese Strecke bzw. für ein Quadrat, dessen Seite diese Strecke ist. Außer eben bei \(a=0\).

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