Extremer Flächeninhalt mit den Extrempunkten als Seitenlänge

Question

Aufgabe:

(Gegebene Funktion:$$f_a(x)=\frac 12x^3-ax^2+\frac12a^2x$$ fa(x)=(1÷2)x^3-ax^2+(1÷2)a^2x)

Die von a abhängigen Extrempunkte von Ga sind \(E_1(a|\,0)\) und \(E_2(\frac a3|\,\frac2{27}a^3)\). Untersuchen Sie, ob es eine reelle Zahl a gibt \((a\ne0)\) für die das Quadrat mit der Seitenlänge \(E_1E_2\) einen extremen Flächeninhalt hat.

Problem/Ansatz:

Es ist schon ein bisschen her, als ich solche Aufgaben berechnet habe. Mein einziger Ansatz ist, dass (E1E2)^2 der Flächeninhalt ist, aber ich habe auch ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich aus den Extrempunkten möglicherweise eine Strecke machen könnte.

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

(a | 0) und (a/3 | 2/27*a^3)

d^2 = (a - a/3)^2 + (2/27·a^3 - 0)^2 = 4/729·a^6 + 4/9·a^2

(d^2)' = 8/243·a^5 + 8/9·a = 0 → a = 0

Es gibt kein reelle Zahl a ≠ 0

Comments

Könnten Sie mir vielleicht erläutern, warum Sie so gerechnet haben? Ich bin mir nicht sicher, dass ich es nachvollziehen kann.

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Was kannst du denn nicht nachvollzierhen

für den quadratischen Abstand zwischen zwei Punkten im Kooerinatensystem gilt nach Pythagoras

P(Px | Py) ; Q(Qx | Qy)

d^2 = (Qx - Px)^2 + (Qy - Py)^2

Das habe ich im Grunde nur verwendet.

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https://www.desmos.com/calculator/wfe2ajlcpb

ziehe dem roten Punkt nach rechts. Damit wächst die Strecke zwischen den beiden Extrempunkten kontinuierlich über alle Grenzen. Nach links wird die Strecke bei \(a=0\) zu \(0\) um dann wieder anzuwachsen.

Es gibt augenscheinlich keinen von \(a\) abhängigen Extremum für diese Strecke bzw. für ein Quadrat, dessen Seite diese Strecke ist. Außer eben bei \(a=0\).