Wieso verschwindet die Zahl 3 bei dieser Vereinfachung des Terms?

Question

Aufgabe:

Vereinfachen Sie den Term (AC^-1)^-1*3AB soweit wie möglich.

Problem/Ansatz:

Verstehe leider wirklich nicht wie man auf die Lösung:

BA^T + C^TA^T kommt

Wieso verschwindet die 3 einfach?

Komme nur soweit bis: A^TC3AB

Danke für jede Hilfe!

Comments

Aus welchem Zusammenhang stammt das?

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Meinst du meine Lösung?

Die ganze Aufgabe lautet:

Die Matrizen A, B, C, X sind (n,n)-Matrizen:
a)Vereinfachen Sie denTerm (AC^-1)^-13AB so weit wie möglich.

Answer 1

Aloha :)

Bei dieser Aufgabe musst du wissen, dass für zwei invertierbare \(n\times n\)-Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:$$\left(A\cdot B\right)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$$

Wenn ihr das noch nicht hattet, kansnt du ddir das wie folgt klar machen...

Die Inverse Matrix zu \((AB)\) sei \(X\) und \(1\) sei die Einheitsmatrix, dann gilt:$$\left.X\cdot(A\cdot B)=1\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(X\cdot A)\cdot B=1\quad\right|\;\cdot B^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.((X\cdot A)\cdot B)\cdot B^{-1}=B^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(X\cdot A)\cdot (B\cdot B^{-1})=B^{-1}\quad\right|\;(B\cdot B^{-1})=1$$$$\left.X\cdot A=B^{-1}\quad\right|\;\cdot A^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(X\cdot A)\cdot A^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.X\cdot (A\cdot A^{-1})=B^{-1}\cdot A^{-1}\quad\right|\;(A\cdot A^{-1})=1$$$$X=B^{-1}\cdot A^{-1}$$

Mit diesem Wissen kannst du deinen Ausdruck nun sehr einfach ausrechnen:$$(AC^{-1})^{-1}\cdot3AB=(C^{-1})^{-1}\cdot A^{-1}\cdot3AB=C\cdot A^{-1}\cdot3AB=3C\cdot \underbrace{A^{-1}A}_{=1}\cdot B=3CB$$

Answer 2

Hallo,

Die Matrizen A, B, C, X sind (n,n)-Matrizen:
a)Vereinfachen Sie denTerm (AC-1)-13AB so weit wie möglich.

demnach liegen keine weiteren Informationen zu den Matrizen vor. Allgemein gilt:$$\phantom=(AC^{-1})^{-1}\cdot 3AB\\ = 3CA^{-1}AB \\ = 3CB$$da \((AC^{-1})^{-1}=CA^{-1}\). Die 3 ist ein konstanter Faktor und der verschwindet hier nicht.

Gruß Werner