Wie finde ich die Matrix anhand der 3-Basisvektoren und deren Abbildungen?

Question

Aufgabe:

Die Matrix der Abbildung finden. Gegeben sind:

f : R^3 -> R^3
Vektoren, die eine Basis bilden: u1=(1,2,0), u2=(1,-1,0), u3=(0,0,1), also Basis = {u1,u2,u3}

Abbildungen: f(u1) = (0,1,0), f(u2) = (1,2,3), f(u3) = (2,1,-7)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich die Matrix mit den obigen Eingaben finden soll.

Answer 1

Aloha :)

Du weißt, wie die gesuchte Matrix \(F\) wirkt:$$F\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad F\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\quad;\quad F\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-7\end{pmatrix}$$Diese 3 Gleichungen fassen wir in eine Matrix-Gleichung zusammen:$$F\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\2 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 2\\1 & 2 & 1\\0 & 3 & -7\end{array}\right)$$Daraus folgt die gesuchte Abbildungsmatrix:$$F=\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 2\\1 & 2 & 1\\0 & 3 & -7\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\2 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}\frac23 & -\frac13 & 2\\[1ex]\frac53 & -\frac13 & 1\\[1ex]2 & -1 & -7\end{array}\right)$$

Answer 2

Du brauchst die Bilder der kanonischen Basisvektoren, also z.B.

\(  f( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}) \)

Dazu musst du diesen durch die gegebene Basis darstellen:

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) = 1/3 * u1 + 2/3*u2 

Also ist \(  f( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})  = \frac{1}{3}f(u_1)+\frac{2}{3}f(u_2) = \begin{pmatrix} 2/3\\5/3\\2 \end{pmatrix}\)

Damit hast du die erste Spalte der Matrix.

Die anderen beiden entsprechend.