Zeigen Sie mit Definition 4.1 .7 dass die Folge konvergiert

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Aufgabe 40 : Es seien \( C, D \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie mit Definition \( 4.1 .7 \), dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in N} \) mit
\( a_{n}:=\frac{C}{n^{2}+5 n}+D \quad \text { für } n \in \mathbb{N} \)
konvergiert.

Definition 4.1.7. Eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reeller Zahlen heißst konvergent mit Grenzwert \( a \in \) \( \mathbb{R} \), falls gilt:
\( \forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N} \forall n \geq n_{0}:\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon_{.} \)
Notation. \( a=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}, a_{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a \)
Eine Folge heißt divergent, falls sie nicht konvergiert. Falls eine konvergente Folge \( a=0 \) als Grenzwert hat, so heißt sie Nullfolge.

Hallo so lautet die Übung die wir machen sollen.. leider komme ich nicht weit und habe keinen Ansatz kann mir einer vielleicht helfen ? Wie soll ich die Aufgabe 40 nun beweisen ?

Answer 1

Aloha :)

Der Grenzwert der Folge$$a_n\coloneqq\frac{C}{n^2+5n}+D\quad;\quad C,D\in\mathbb R\quad;\quad n\in\mathbb N$$ist vermutlich \(a=D\). Um das zu überprüfen, betrachten wir den Betrag$$\left|a_n-a\right|=\left|\left(\frac{C}{n^2+5n}+D\right)-D\right|=\left|\frac{C}{n^2+5n}\right|=\frac{|C|}{n^2+5n}<\frac{|C|}{n^2}$$Die Abschätzung \(<\) gilt, weil ein Bruch größer wird, wenn sein Nenner kleiner wird.

Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig aus, können wir alle \(n\in\mathbb N\) bestimmen, für die gilt:$$\frac{|C|}{n^2}<\varepsilon\quad\Longleftrightarrow\quad n^2>\frac{|C|}{\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\sqrt{\frac{|C|}{\varepsilon}}$$Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es also ein \(n_0\coloneqq\left\lceil\sqrt{\frac{|C|}{\varepsilon}}\right\rceil\in\mathbb N\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$\left|a_n-D\right|<\varepsilon$$Daher ist der Grenzwert der Folge \((a_n)\) gleich \(D\).

Comments

Danke für die ausführliche Antwort:)