Aloha :)
Die Folge \(\tilde a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) fällt streng monton, da mit wachsendem \(n\) der Nenner stets größer wird, der Zähler aber konstant bleibt. Insbesondere wächst der Nenner ins Unendliche, sodass die Folge \((\tilde a_n)\) gegen \(0\) konvergiert. Nach dem Leibnitz-Kriterium konvergiert daher \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\)
Wir betrachten nun das Cauchy-Produkt der Summe mit sich selbst:$$S=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\cdot\sum\limits_{\ell=1}^\infty\frac{(-1)^\ell}{\sqrt{\ell+1}}=\sum\limits_{n=2}^\infty\sum\limits_{k+\ell=n}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\frac{(-1)^\ell}{\sqrt{\ell+1}}$$$$\phantom{S}=\sum\limits_{n=2}^\infty\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}=\sum\limits_{n=2}^\infty(-1)^n\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k+1}\,\sqrt{n-k+1}}$$
Um den Nenner abschätzen zu können, betrachte für \(a,b>0\) folgende Umformung:$$0\le\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2=a-2\sqrt{ab}+b\implies\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\implies\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{a+b}$$
Damit können wir unser Cauchy-Produkt abschätzen:$$S\ge\sum\limits_{n=2}^\infty(-1)^n\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{2}{(k+1)+(n-k+1)}=\sum\limits_{n=2}^\infty(-1)^n\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{2}{n+2}1$$$$\phantom{S}=\sum\limits_{n=2}^\infty(-1)^n\frac{2}{n+2}\sum\limits_{k=1}^{n-1}=\sum\limits_{n=2}^\infty(-1)^n\frac{2(n-1)}{n+2}$$Für \(n>4\) ist \(\frac{2(n-1)}{n+2}>1\), sodass das Cauchy-Produkt divergiert.
