Aufgabe:
Wir haben auf Z×N die folgende Relation definiert und wissen bereits, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt:
(a1,a2)≡(b1,b2):⇔a1⋅b2=a2⋅b1
für (a1,a2),(b1,b2)∈Z×N.
Zeigen Sie, dass die Addition (a1,a2)⊕(b1,b2):=(a1⋅b2+b1⋅a2,a2⋅b2) eine Addition auf den Äquivalenzklassen bzgl. ≡ definiert, weil sie unabhängig ist von der Wahl von Repräsentanten der Äquivalenzklassen.
Zeigen Sie, dass die Addition assoziativ und kommutativ ist.
Zeigen Sie, dass das Distributivgesetz (mit der Multiplikation aus Aufgabe 1) gilt.
Zeigen Sie, dass die Multiplikation (a1,a2)⊙(b1,b2):=(a1⋅b1,a2⋅b2) eine Multiplikation auf den Äquivalenzklassen bzgl. ≡ definiert, weil sie unabhängig ist von der Wahl von Repräsentanten der Äquivalenzklassen.
Zeigen Sie, dass die Multiplikation assoziativ und kommutativ ist.
Problem/Ansatz:
Hi kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen, ich weiß hier leider nicht so ganz wie hier die Beweise aussehen müssen.
An sich weiß ich, dass die Repräsentantenwahl bei der Addition und Multiplikation unabhängig ist und auch das sie assoziativ und kommutativ sind, aber wie beweist man das.
Danke schonmal :)
