Gleichungssystem mit einem Parameter p∈R

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit einem Parameter p∈R:

\( 1x+2 y+3 z=1 \)
\( -x+4 y=3 \)
\( p \cdot x+3 y+4 z=4 \)

Geben Sie an, für welche Werte von p dieses LGS eine eindeutige Lösung besitzt.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand den Lösungsweg bitte zeigen

Answer 1

Stelle zunächst die Zeilenstufenform her. Welche Rechenbefehle würdest du dafür (zum Umwandeln der Zeieln 2 und 3) verwenden?

Comments

Hallo Louisa,

ich habe dir vor ca. 25 Minuten klare Hinweise für erste erforderliche Schritte gegeben und warte seitdem auf eine Reaktion. Behaupte jetzt nicht, dass du das noch nicht gelesen hast, denn etliche Minuten später warst du wieder in deinem Beitrag und hast

Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen

umgewandelt in

Kann mir jemand den Lösungsweg bitte zeigen

***kopfschüttel***

---

Sry ich habe vergessen zu schreiben das mir das sehr geholfen hatte tut mir echt leid und danke nochmal

Answer 2

Aloha :)

Ein Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix \(\ne0\) ist. In Matrix-Schreibweise lautet dein Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\-1 & 4 & 0\\p & 3 & 4\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}$$

Die Determinate der Koeffizientmatrix erhalten wir so:$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\-1 & 4 & 0\\p & 3 & 4\end{array}\right|\stackrel{(Z_1+=Z_2)}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & 6 & 3\\-1 & 4 & 0\\p & 3 & 4\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{rrr}0 & 2 & 1\\-1 & 4 & 0\\p & 3 & 4\end{array}\right|\stackrel{(Z_3-=4Z_1)}{=}3\left|\begin{array}{rrr}0 & 2 & 1\\-1 & 4 & 0\\p & -5 & 0\end{array}\right|$$$$=3\cdot(5-4p)\stackrel{!}{\ne}0$$Für alle \(p\ne\frac54\) ist die Determinante \(\ne0\) und das Gleichungssystem daher eindeutig lösbar.