Lineares Gleichungssystem in Abhängigkeit von t lösen

Question

Aufgabe:

\( -2 t x_{1}-x_{2} / t-3 x_{3}=1 \)

\( -3 x_{1}-2 t x_{2}-x_{3} / t=1 \)
\( -x_{1} / t-3 x_{2}-2 t x_{3}=1 \)

Ich muss die Gleichungssystem in Abhängigkeit von t lösen.

Problem/Ansatz:

meine Problem ist, da wo durch steht also Bsp.  −x2/t

Answer 1

Aloha :)

Hier würde ich gar nicht groß anfangen zu rechnen. Stattdessen würde ich das Gleichungssystem in Matrix-Form aufschreiben:$$\left(\begin{array}{rrr}-2t & -\frac1t & -3\\[1ex]-3 & -2t & -\frac1t\\[1ex]-\frac1t & -3 & -2t\end{array}\right)\vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Es fällt sofort auf, dass die Summe über die Einträge in jeder der Zeilen gleich groß ist. Das nutzen wir, indem wir die Matrix mit einem Vektor aus lauter Einsen multiplizieren:$$\left(\begin{array}{rrr}-2t & -\frac1t & -3\\[1ex]-3 & -2t & -\frac1t\\[1ex]-\frac1t & -3 & -2t\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2t-\frac1t-3\\[1ex]-3 -2t-\frac1t\\[1ex]-\frac1t-3-2t\end{pmatrix}=\left(-2t-\frac1t-3\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Bis auf den Vorfaktor haben wir so bereits das gewünschte Ergebnis konstruiert. Wir brauchen nur noch den Vektor aus lauter Einsen durch den Vorfaktor zu dividieren und erhalten als Lösung:$$\vec x=\frac{1}{\left(-2t-\frac1t-3\right)}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\frac{-t}{2t^2+3t+1}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad\implies$$$$\vec x=\frac{-t}{(2t+1)(t+1)}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\quad\text{für }t\ne-\frac12\;\land t\ne-1\;\land\;t\ne0$$

Für \(t=0\) ist das Gleichungssystem, wegen Division durch Null innerhalb der Koeffizientenmatrix, nicht definiert.

Für \(t=-\frac12\) und \(t=-1\) hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung. Also muss es in diesen beiden Fällen unendlich viele oder keine Lösung geben. Meine Einzelbetrachtungen haben ergeben, dass es in beiden Fällen keine Lösung gibt.

Answer 2

meine Problem ist, da wo durch steht also Bsp. −x2/t

Dann multipliziere diese Zeilen mit t

- 2·t·x - 1/t·y - 3·z = 1
- 3·x - 2·t·y - 1/t·z = 1
- 1/t·x - 3·y - 2·t·z = 1

2·t·II - 3·I ; I - 2·t^2·III

(4·t^2 - 3/t)·y - 7·z = 3 - 2·t
(6·t^2 - 1/t)·y + (4·t^3 - 3)·z = 1 - 2·t^2

7·II + (4·t^3 - 3)·I

2·y·(8·t^6 + 9·t^3 + 1)/t = - 8·t^4 + 12·t^3 - 14·t^2 + 6·t - 2 --> y = - t/(2·t^2 + 3·t + 1)

Ok. So ganz Pflegeleicht ist das nicht.