Aloha :)
Die Darstellungen der Identität bei gleicher Eingangs- und Ausgangsbasis ist geschenkt, weil sich durch die Identität an den Vektoren nichts ändert.
$$\text{zu i)}\quad{_B}\operatorname{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\text{zu iv)}\quad{_C}\operatorname{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Die Basisvektoren von \(C=(v_1+v_2;v_2+v_3;v_1+v_3)\) sind mittels der Basisvektoren von \(B=(v_1;v_2;v_3)\) angegeben. Daher kennen wir die Übergangsmatrix der Identität von \(C\) nach \(B\). Ich kenne mich mit eurer Notation nicht aus, aber es müsste der Fall (ii) sein:$$\text{zu ii)}\quad{_B}\operatorname{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$
In die andere Richtung, also von \(B\) nach \(C\) geht es mit der Inversen:$$\text{zu iii)}\quad{_C}\operatorname{id}_B=\left({_B}\operatorname{id}_C\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}\frac12 & \frac12 & -\frac12\\[1ex]-\frac12 & \frac12 & \frac12\\[1ex]\frac12 & -\frac12 & \frac12\end{array}\right)$$
