Hallo,
das hab ich grad aus dem Netz kopiert, da ich keine Lust hatte so lange zu schreiben
Satz
Jede natürliche Zahl n ≥ 2 lässt sich als Produkt endlich vieler Primzahlen schreiben. Beweis :
Induktionsanfang n = 2: Die Zahl 2 ist selbst schon eine Primzahl.
Induktionsvoraussetzung: Es sei n ≥ 2 und jede Zahl k ∈ N mit 2 ≤ k ≤ n lasse sich als
Produkt endlich vieler Primzahlen schreiben.
Induktionsschritt: Ist n + 1 selbst schon eine Primzahl, so sind wir fertig. Ist n + 1 keine Primzahl, so existiert ein q ∈ {2,...,n}, welches n+1 teilt, d.h., es gibt ein r ∈ {1,...,n+1} mit rq = n + 1. Wegen q ∈ {2,...,n} gilt auch r ∈ {2,...,n}. Wir können also auf q und r jeweils die Induktionsvoraussetzung anwenden und diese jeweils als ein endliches Produkt von Primzahlen schreiben. Daher lässt sich auch n + 1 = qr als ein endliches Produkt von Primzahlen darstellen.
Gruss lul
