Wie Tschakabumba richtig sagt, kann man von x4+x3+x2+x+1
keinen reellen Linearfaktor abspalten,
das heißt aber nicht, dass man das Polynom nicht in 2 Faktoren
von Grad 2 zerlegen kann.
Sei ρ=e2πi/5. Das ist eine primitive 5-te Einheitswurzel,
deren Potenzen 1=ρ0,ρ1,ρ2,ρ3,ρ4 also alle Lösungen
von x5=1 liefern.
Nun ist
ρ+ρ4=ρ+ρ=2cos(2π/5) und ρ⋅ρ4=1,
woraus (x−ρ)(x−ρ4)=x2−2cos(2π/5)x+1 folgt.
Ebenso hat man
ρ2+ρ3=ρ2+ρ2=2cos(4π/5) und ρ2⋅ρ3=1,
woraus (x−ρ2)(x−ρ3)=x2−2cos(4π/5)x+1 folgt.
Damit ergibt sich die reelle Zerlegung
x4+x3+x2+x+1=(x2−2cos(2π/5)x+1)(x2−2cos(4π/5)x+1).
Der Titel der Aufgabe war irreführend:
es ging nicht um Linearfaktoren, sondern um irreduzible Faktoren,
was zwar im Komplexen dasselbe ist, aber nicht im Reellen.