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Aufgabe:

Zerlegen Sie y = x5-1in irreduzible komplexe und irreduzible reelle Faktoren.


Problem/Ansatz:

Für reell habe ich herausbekommen: x5-1 = (x-1)*(x4+x3+x2+x+1).

Wie rechnet man nun die Nullstellen von x4+x3+x2+x+1 aus?

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Es ist wohl einfacher, die 5 komplexen Lösungen der Gleichung x**5=1 zu berechnen.

(gelöscht) ....

4 Antworten

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Beste Antwort

Versuchsmal mit z=e2kiπ5 z = e^{\frac{2 k i \pi} {5}} für k=0..4 k = 0 .. 4

Avatar von 39 k

Danke ullim. Diese "Methode" hätte ich fast vergessen. Jetzt stimmen die Ergebnisse :)

Bedenle auch die irreduzible Zerlegung im Reellen,
nach der ebenfalls gefragt war!

hab ich, danke :)

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Wie Tschakabumba richtig sagt, kann man von x4+x3+x2+x+1x^4+x^3+x^2+x +1

keinen reellen Linearfaktor abspalten,

das heißt aber nicht, dass man das Polynom nicht in 2 Faktoren

von Grad 2 zerlegen kann.

Sei ρ=e2πi/5\rho=e^{2\pi i/5}. Das ist eine primitive 5-te Einheitswurzel,

deren Potenzen 1=ρ0,ρ1,ρ2,ρ3,ρ41=\rho^0,\rho^1,\rho^2,\rho^3,\rho^4 also alle Lösungen

von x5=1x^5=1 liefern.

Nun ist

ρ+ρ4=ρ+ρ=2cos(2π/5)\rho+\rho^4=\rho+\overline{\rho}=2\cos(2\pi/5)  und ρρ4=1\rho\cdot \rho^4=1,

woraus (xρ)(xρ4)=x22cos(2π/5)x+1(x-\rho)(x-\rho^4)=x^2-2\cos(2\pi/5)x+1 folgt.

Ebenso hat man

ρ2+ρ3=ρ2+ρ2=2cos(4π/5)\rho^2+\rho^3=\rho^2+\overline{\rho}^2=2\cos(4\pi/5)  und ρ2ρ3=1\rho^2\cdot \rho^3=1,

woraus (xρ2)(xρ3)=x22cos(4π/5)x+1(x-\rho^2)(x-\rho^3)=x^2-2\cos(4\pi/5)x+1 folgt.

Damit ergibt sich die reelle Zerlegung

x4+x3+x2+x+1=(x22cos(2π/5)x+1)(x22cos(4π/5)x+1)x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2-2\cos(2\pi/5)x+1)(x^2-2\cos(4\pi/5)x+1).

Der Titel der Aufgabe war irreführend:

es ging nicht um Linearfaktoren, sondern um irreduzible Faktoren,

was zwar im Komplexen dasselbe ist, aber nicht im Reellen.

Avatar von 29 k
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Aloha :)

Die Funktion f(x)=x51f(x)=x^5-1 hat die Ableitung f(x)=5x4f'(x)=5x^4. Diese Ableitung ist immer 0\ge 0, das heißt die Funktion ist monoton wachsend. Klammert man die Stelle x=0x=0 aus, ist sie sogar streng monoton wachsend. Außer der offensichtlichen Nullstelle bei x=1x=1 kann es daher keine weitere Nullstelle in R\mathbb R geben.

Avatar von 152 k 🚀

Die Funktion f ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

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Die Gleichung x4+x3+x2+x+1 x^4+x^3+x^2+x+1 ist reziprok. Mit der Substitution u=x+1x u = x+{1\over x} lässt sie sich leicht lösen.

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