Wie Tschakabumba richtig sagt, kann man von \(x^4+x^3+x^2+x +1\)
keinen reellen Linearfaktor abspalten,
das heißt aber nicht, dass man das Polynom nicht in 2 Faktoren
von Grad 2 zerlegen kann.
Sei \(\rho=e^{2\pi i/5}\). Das ist eine primitive 5-te Einheitswurzel,
deren Potenzen \(1=\rho^0,\rho^1,\rho^2,\rho^3,\rho^4\) also alle Lösungen
von \(x^5=1\) liefern.
Nun ist
\(\rho+\rho^4=\rho+\overline{\rho}=2\cos(2\pi/5)\) und \(\rho\cdot \rho^4=1\),
woraus \((x-\rho)(x-\rho^4)=x^2-2\cos(2\pi/5)x+1\) folgt.
Ebenso hat man
\(\rho^2+\rho^3=\rho^2+\overline{\rho}^2=2\cos(4\pi/5)\) und \(\rho^2\cdot \rho^3=1\),
woraus \((x-\rho^2)(x-\rho^3)=x^2-2\cos(4\pi/5)x+1\) folgt.
Damit ergibt sich die reelle Zerlegung
\(x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2-2\cos(2\pi/5)x+1)(x^2-2\cos(4\pi/5)x+1)\).
Der Titel der Aufgabe war irreführend:
es ging nicht um Linearfaktoren, sondern um irreduzible Faktoren,
was zwar im Komplexen dasselbe ist, aber nicht im Reellen.
