Finden Sie Untergruppen und weisen Sie nach, dass es sich um Untergruppen handelt

Question

Aufgabe:

In dieser Aufgabe befassen wir uns mit der D4, also der Diedergruppe des Quadrats. Finden Sie mindestens zwei von den trivialen Untergruppen {e} und D4 verschiedene Untergruppen der D4 und weisen Sie nach, dass es sich um Untergruppen handelt.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe nicht, wie ich dieser Aufgabe lösen soll. Das Konzept Diedergruppen und Permutationen verstehe ich, aber das Konzept Untergruppen nicht. Ich weiß nicht, wie ich die Untergruppen finden soll und wie ich nachweisen kann, dass es sich um Untergruppen handelt.

Ich hoffe, dass jemand mich helfen kann, und schonmal vielen Dank für die Muhe.

Answer 1

D4 enthält doch z.B. die Drehung um 180°, nennen wir die mal d

und das neutrale Element e.

Diese beiden zusammen bilden eine Untergruppe. Du musst nur zeigen,

dass die Menge U = {e,d}

1.das neutrale El enthält   (ist offenbar so)

2.bzgl o abgeschlossen ist

(es gibt ja nur eoe, eod, doe, dod, die Ergebnisse sind alle in U.)

3.und zu jedem El. das Inverse enthält

(zu e ist das e und zu d ist es d).

Also ist es eine Untergruppe.

Genauso e und die Spiegelung an einer Diagonalen.