Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Grenzwertsätze

Question

Aufgabe:

1. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Grenzwertsätzen.

a) $\lim\limits_{n\to\infty}$ (1-$\frac{1}{3n - 1}$)²ⁿ⁺⁴

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man das am Besten? mit Substitution? Irgendwie habe ich dazu leider keine ähnliche Aufgaben gefunden.. Ich lerne es für die Klausur..

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{3n-1}\right)^{2n+4}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{2n+4}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{2n-\frac23+\frac{14}{3}}$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{2n-\frac23}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{\frac{14}{3}}=e^{-\frac23}\cdot1=\frac{1}{e^{\frac23}}=\frac{1}{\sqrt[3]{e^2}}$$

Comments

Hey, wie kommst du hier auf 2/3?

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Es gilt ja allgemeint:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$$Wenn $n\to\infty$ geht, dann geht auch $(2n-\frac23)\to\infty$. Daher gilt auch:$$\lim\limits_{(2n-\frac23)\to\infty}\left(1+\frac{x}{2n-\frac23}\right)^{2n-\frac23}=e^x$$Ich habe den Bruch mit $\frac23$ erweitert, damit der Nenner von $(3n\ldots)$ zu $(2n\ldots)$ wird, sodass ich den Exponenten $(2n\ldots)$ einfacher an den Nenner des Bruches anpassen kann.

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Achsoo oki danke. Weißt du auch wie man es mit Substitution machen kann?