Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Grenzwertsätze

Question

Aufgabe:

1. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Grenzwertsätzen.

a) \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1-\( \frac{1}{3n - 1} \))²ⁿ⁺⁴

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man das am Besten? mit Substitution? Irgendwie habe ich dazu leider keine ähnliche Aufgaben gefunden.. Ich lerne es für die Klausur..

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{3n-1}\right)^{2n+4}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{2n+4}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{2n-\frac23+\frac{14}{3}}$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{2n-\frac23}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{\frac{14}{3}}=e^{-\frac23}\cdot1=\frac{1}{e^{\frac23}}=\frac{1}{\sqrt[3]{e^2}}$$

Comments

Hey, wie kommst du hier auf 2/3?

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Es gilt ja allgemeint:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$$Wenn \(n\to\infty\) geht, dann geht auch \((2n-\frac23)\to\infty\). Daher gilt auch:$$\lim\limits_{(2n-\frac23)\to\infty}\left(1+\frac{x}{2n-\frac23}\right)^{2n-\frac23}=e^x$$Ich habe den Bruch mit \(\frac23\) erweitert, damit der Nenner von \((3n\ldots)\) zu \((2n\ldots)\) wird, sodass ich den Exponenten \((2n\ldots)\) einfacher an den Nenner des Bruches anpassen kann.

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Achsoo oki danke. Weißt du auch wie man es mit Substitution machen kann?