Grenzwerte einer Folge? Rechenfehler?

Question

Aufgabe: Ich will die Folge \(a_{n} = k^{n+1}*exp(-n)\) umwandeln um dann die Grenzwerte der Folge für ein beliebiges k zu bestimmen. Glaube aber, dass mir ein Rechenfehler unterlaufen ist. Glaube, dass statt dem +, auf das der rote Pfeil zeigt ein, ein - hin muss. Weiß aber nicht warum, kann mir das jemand bitte erklären?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \begin{array}{ll}\operatorname{exp}(-n)=e^{-n} & \\ a_{n}=k^{n+1} \cdot e^{-n} & k^{n+1}=k^{n} \cdot k \\ e^{x}=k^{n+1} \quad l \ln & \text { Nebenrechnoung: } \\ x=(n+1) \cdot \ln (k) & (n+1) \cdot \ln (k)+(-n) \\ a_{n}=e^{[(n+1) \cdot \ln (k)]} \cdot e^{-n} & n \cdot \ln (k)+\ln (k)-n \\ a_{n}=e^{(n \cdot(\ln (k)-1)+\ln (k))} & n \cdot \ln (k)-n+\ln (k) \\ & n \cdot(\ln (k)-1)+\ln (k)\end{array} \)

Comments

Oder stimmt einfach alles?

Answer 1

Die Nebenrechnung mE korrekt. Dort wird der Exponent umgestellt und mit Klammern hantiert. D.h. das plus ist schon ein plus.

Erinnere dich an 10^3 * 10^5 = 10^(3+5 ) = 10^8 .

Comments

Ok danke Dir. War einfach verunsichert, weil jemand das gerechnet hat und da stand, statt dem Plus ein Minus. Danke Dir Lu

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Wie lautet denn der Fragetext ganz genau?

Die Folge (a_n) hat je nach Grösse von k einen Grenzwert oder keinen Grenzwert (wenn n gegen unendlich geht).

Es gilt und ist vielleicht bekannt: e^(-n) = 1/e^n

a_ n = k^(n+1) * e^(-n) = k * k^n * e^(-n) = k * ( k / e) ^n .

Dies als Ansatz irgendwie brauchbar?

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Aufgabe war:

Bestimmen Sie für beliebiges k ∈ R den Grenzwert der Folge (an)n∈N gegeben mit

a_n = (siehe oben)

Hinweis: Fallunterscheidung in vier Fälle.

Mein Lösungsansatz: Umgewandelt wie oben:

e^[n(ln(k) - 1) + ln(k)]

1) für k = e ist a_n = e

2) für k > e geht a_n gegen unendlich

3) für 0<k<e geht a_n gegen minus unendlich

4) für k<= 0 ist die Folge nicht definiert. Man kann ja keinen natürlichen logarithmus von 0 oder kleiner 0 ziehen oder?

Stimmen meine Fallunterscheidungen?

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Die Möglichkeiten mit k ≤ 0 musst du dir nochmals überlegen. Natürliche Exponenten bei negativen Zahlen sind durchaus erlaubt.

Alternierende Folgen können gegen Null konvergieren, wenn sie nicht divergieren gegen ± k z.B. (zwei Häufungspunkte) oder gar gegen ± unendlich.

Eigentlich würde ich den Logarithmus auch bei k≥0 gar nicht verwenden. (k/e) ist eine Zahl, die betragsmässig entweder 1 oder kleiner als 1 oder grösser als 1 ist.

Achtung: Ich bekomme: Im Fall k=e, dass die Folge (a_n) nur aus den Zahlen k = e besteht. Womit der Grenzwert e ist. (Wie bei dir) Aber bei deinem 3) habe ich den Grenzwert 0. 4) Nochmals anschauen.

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Könntest Du nochmal schauen, ob die Fallunterscheidung jetzt richtig ist?

Der Ansatz a_n = k * ( k / e)^n hat echt viel geholfen:

1) für k = e ist a_n = e

2) für k > e geht a_n gegen unendlich

3) für -e<k<e geht a_n gegen 0.

4) für k < -e ist die Folge a_n nicht konvergent. Wie Du oben schon geschrieben hast, handelt es sich hier um eine alternierende Folge, die gegen ± unendlich konvergiert.

Danke für Deine Hilfe.

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Bitte. Gern geschehen.

4) entweder sehr kurz oder ausführlicher erklären. Nun aber mit dir einverstanden.

4) " eine alternierende Folge, die (gegen ± unendlich) *divergiert. "

5) k = -e. " eine alternierende Folge, die (gegen ± e) *divergiert. "

Schlicht: "4) für k *≤ -e ist die Folge a_n nicht konvergent. "