Hallo,
rechne es doch einfach aus! jede 2x2-Matrix \(A\) lässt sich schreiben als$$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$und das Produkt der Matrix \(A\) mit sich selbst ist$$A \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2 \end{pmatrix}$$und aus der Forderung, dass \(A^2\) die 0-Matrix sein soll folgt:$$\begin{aligned} \implies a^2+bc &= 0\\ b(a+d) &= 0 \\ c(a+d) &= 0 \\ bc+d^2 &= 0\\ \end{aligned}$$Da kann man zwei Fälle betrachten.
1.Fall: \(a+d \ne 0\). Dies führt dann automatisch zu \(b=c=0\) (2. und 3. Gleichung) und damit wird dann aber auch \(a=d=0\) (1. und 4. Gleichung). D.h. dieser Fall ist keine Lösung.
2.Fall: \(a+d=0\) daraus folgt \(d=-a\) und die 2. und 3. Gleichung sind erfüllt und die 1. und 4. Gleichung fallen zusammen. Dann bleibt noch$$a^2+bc = 0 \implies \left(c = -\frac{a^2}{b} \quad b \ne 0 \right) \lor (a=0 \land bc=0) $$D.h. die Elemente \(a\) und \(b\) sind frei wählbar, und \(c\) und \(d\) folgen dann daraus. Von \(b\) und \(c\) muss mindestens ein Wert \(\ne 0\) sein.
Beispiele $$A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4/3 & -2 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} c \ne 0$$Gruß Werner
