Betrachte die Funktion \(h:=f-g:I\rightarrow \mathbb{R}\), die durch
\(h(x)=f(x)-g(x)\) für \(x\in I\) gegeben ist. Diese ist als Differenz
zweier stetiger Funktionen stetig. Sei nun \(x\in I\) beliebig.
Dann gibt es eine Folge \(x_n\in I\cap\mathbb{Q}\), so dass
\(\lim x_n=x\) ist (die rationalen Zahlen von \(I\) liegen dicht in \(I\)).
Nach dem Folgenkriterium für Stetigkeit gilt dann
\(h(x)=h(\lim x_n)=\lim h(x_n)=\lim (f(x_n)-g(x_n))=\lim 0=0\),
also \(f(x)=g(x)\), q.e.d.