Zeigen Sie, dass f und g auf ganz I übereinstimmen

Question

Aufgabe:

Sei \( I \subset \mathbb{R} \) ein Intervall und \( f, g: I \rightarrow \mathbb{R} \) stetig auf \( I \). In allen rationalen Punkten \( x \) aus \( I \) gelte \( f(x)=g(x) \). Zeigen Sie, dass dann \( f \) und \( g \) auf ganz \( I \) übereinstimmen.

Answer 1

Betrachte die Funktion \(h:=f-g:I\rightarrow \mathbb{R}\), die durch

\(h(x)=f(x)-g(x)\) für \(x\in I\) gegeben ist. Diese ist als Differenz

zweier stetiger Funktionen stetig. Sei nun \(x\in I\) beliebig.

Dann gibt es eine Folge \(x_n\in I\cap\mathbb{Q}\), so dass

\(\lim x_n=x\) ist (die rationalen Zahlen von \(I\) liegen dicht in \(I\)).

Nach dem Folgenkriterium für Stetigkeit gilt dann

\(h(x)=h(\lim x_n)=\lim h(x_n)=\lim (f(x_n)-g(x_n))=\lim 0=0\),

also \(f(x)=g(x)\), q.e.d.