Aufgabe:
(a) Bestätige für \( x, y \in \mathbb{R} \) die Formeln
\( \begin{array}{l} \sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \\ \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \end{array} \)
Hinweis: Addiere das \( i \)-fache der 1. Gleichung zur 2. Gleichung und benutze dann dreimal die Euler'sche Formel; dabei auf der rechten Seite \( i \) ausklammern! Dann beachte \( \sin \alpha= \) \( \operatorname{Im} e^{i \alpha}=\left(e^{i \alpha}-e^{-i \alpha}\right) /(2 i) \) für alle \( \alpha \in \mathbb{R} \).
(b) Zeige: Für alle \( z \in \mathbb{C} \) gilt \( \left|e^{z}\right|=e^{\mathrm{Re} z} \).
