Was sind die Eigenwerte dieser Matrix, was sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms?

Question

Aufgabe:

Sei z eine komplexe Zahl, f : C → C die Funktion f(w) = zw. Fassen Sie C als 2-dimensionalen Vektorraum über R auf, und bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Basis {1, i}. Was sind die Eigenwerte dieser Matrix, was sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms?

Comments

Basiselemente in f einsetzen und als Linearkombination der Basis schreiben:

f(1) = z = 1*Re(z) + i*Im(z)

f(i) = iz = 1*(-Im(z)) + i*Re(z)

Koeffizienten in Spalten der Matrix schreiben:

Re(z)    -Im(z)

Im(z)     Re(z)

Answer 1

Hallo

schreib z=a+ib , bestimme das Bild der der Basis, schreibe es in die Spalten der Matrix. Den Rest kannst du dann hoffentlich

Gruß lul

Answer 2

Ist \(z=a+bi\) mit reellen \(a,b\), so hat die Matrix die Gestalt$$A:=\left(\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}\right)$$Das charakteristische Polynom ist

\(p_A=x^2-2ax + (a^2+b^2)\) ...