Kurvenintegral - Warum Integrationsgrenzen von 0 bis 1?

Question

Ich übe gerade Kurvenintegrale, allerdings habe ich noch nicht verstanden wie man auf die Grenzen kommt.

Also ein Beispiel (es handelt sich um eine Gerade):

INT y dx+x dy

von Punkt (1|1) nach Punkt(2|3)

Warum nehme ich hier die Integrationsgrenzen von 0 bis 1?

Aufgabe:

Berechnen Sie die Kurvenintegrale

(a) \( \int \limits_{\mathrm{K}} \mathrm{y} \mathrm{dx}+\mathrm{x} \mathrm{dy} \) für die Kurve \( \mathrm{K}: \) Strecke von \( (1 \mid 1) \) nach \( (2 \mid 3) \)

Comments

Wie habt ihr denn Kurvenintegrale eingeführt? Mittels Skalarprodukt und Kotangentialvektor oder über Pfaffsche Formen oder übers totale Differential (das wär das einfachste). Auf jeden Fall ist es sinnvoll erst einmal K zu parametrisieren.

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Ou, ich weiß nicht genau wie du das meinst. Hört sich für mich alles unbekannt an.

Parametrisieren einer Gerade ist ja nich so schwer. Das ist dann: r(t)= (1+t|1+2t) und r'(t)=(1|2)

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Und wie habt ihr jetzt Kurvenintegrale eingeführt? es ist sdchwierig etwas nachvollziehbar zu erklären, wenn nicht klar ist auf welcher Grundlage erklärt weren kann.

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Tut mir leid. Ich kann dir das echt nicht sagen. Wir haben das r(t) bestimmt und das r*(t) und dann immer eingesetzt für x,y,dx,dy

Aber mehr weiß ich nicht.

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Und wie willst du eine Antwort auf deine Frage oder auch das Thema jemals verstehen? Was erhoffst du dir denn von einer Antwort? Sorry, dass ist eine Arbeitseinstellung, die ich nicht nachvollziehen. Allerdings bin ich mir ziemlich sicher, dass die Einstellung dazu führt im Studium zu scheitern. Setzt dich hin arbeite dein Skript durch bis du die entsprechende Definition findest.

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Ich habe bis gerade eben nicht gewusst, dass es mehrere Möglichkeiten gibt ein Kurvenintegral zu bestimmen. Wir haben nur eine behandelt, ich denke das ganze bassiert irgendwie auf Vektoren. Aber bin mir da nicht sicher. Hier die Definition aus unserem Skript, vielleicht hilft das weiter.

Definition
Es seien \( \overrightarrow{\mathrm{V}}=\overrightarrow{\mathrm{V}}(\overrightarrow{\mathrm{r}}), \overrightarrow{\mathrm{r}} \in \mathrm{D} \) ein Vektorfeld und \( \overrightarrow{\mathrm{r}}=\overrightarrow{\mathrm{r}}(\mathrm{t}), \mathrm{a} \leq \mathrm{t} \leq \mathrm{b} \) eine (stückweise) differenzierbare Vektorfunktion zu einer Kurve \( \mathrm{K} \subset \mathrm{D} \).

Dann heißt \( \int \limits_{K} \overrightarrow{\mathrm{V}} \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{r}}=\int \limits_{\mathrm{a}}^{b} \overrightarrow{\mathrm{V}}(\overrightarrow{\mathrm{r}}(\mathrm{t})) \cdot \dot{\mathrm{r}}(\mathrm{t}) \mathrm{dt} \) das Kurvenintegral von \( \vec{V} \) längs \( K \).

Answer 1

Das Vektorfeld $$F: \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto xy $$

ist Stammfunktion der 1-Form w=xdy+ydx in dem Sinne, dass dF=w.

Nach der Verallgemeinerung des HDI ist also $$ \int_K w =\int_K dF =F(2,3)-F(1,1)=6-1=5 $$

Comments

Das ist mir ja durchaus bewusst. Aber Danke Ich weiß nur nicht wie man auf die Integrationsgrenzen kommt.

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ich ging aufgrund der fragestellung davon aus, du willst das Ergebnis wissen. Meine Lösung zeigt doch auch, dass man keine Integrationsgrenzen 0 und 1 braucht. Ein Kurvenintegral an sich hat ja auch keine Integrationsgrenzen.

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Aber man braucht Integrationsgrenzen. Zumindest so wie ich das rechne. Und bei Polarkoordinaten ja auch...

Ich setze die r(t) Werte in die Funktion ein und Integriere dann. Wenn ich hier nichts einsetzen würde, dann wäre das nicht richtig.

Aber ich glaube wir sprechen irgendwie aneinander vorbei. Trotzdem danke für deine Hilfe.

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Wir sprechen aneinander vorbei. Das ist mir ja durchaus bewusst. Man braucht keine Integrationsgrenzen, du brauchst welche. Du da aber nicht wirklich verrätst wie du rechnest (diene Beschreibung ist extrem schwammig, was ist r(t) wie genau setzt du ein usw...), kann dir keiner sagen was du genau machen sollst. Aber trotzdem danke für die Aufmerksamkeit.

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ja ich weiß leider nicht wie sich diese Methode nennt.

Ich habe ein Integral vorgeben und eine Kurve oder eine Grede mit zwei Punkte o.ä.

dann bestimme ich r(t) das ist ein Vektor mit x und y.

das Ergebnis sieht dann so aus:

r(t)= (1+t|1+2t)

und dann leite ich den Vektor einmal ab

r'(t)=(1|2)

Nun habe ich x,y,dx,dy gegeben. Diese Werte setze ich jetzt in das vorgegeben Integral ein. Das heißt dann:

INTEGRAL ........     dt

Das wird jetzt integriert.

Und als Grenzen nehme ich eben die 1 (oben) und die 0 (unten).

Vielleicht versteht du jetzt meine Methode. Ich weiß wirklich nicht wie die heißt. das würde uns auch nie gesagt, bzw. wenn dann habe ich das nicht mitbekommen. Es ist auch die einzige Methode die ich kenne.

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Wenn die Beschreibung in der Vorlesung genauso schwammig war würde ich auch nichts verstehen. Daher glaube ich, dass ihr das definitiv genauer gemacht hab. Z.B. ist r(t) kein Vektor sondern ohne Funktion. Die Ableitung eines Vektors wäre auch ziemlich langweilig, die ist 0. Was du vermutlich hier auslässt ist eine genaue Beschreibung der Parametrisierung r. Denn Anfangs und Endpunkt das Intervalls der Parametrisierung bestimmen die Integrationsgrenzen. Das müssen nicht 0 und 1 sein, das sind aber die angenehmsten. P.S. Könntest du bitte auf eine Antwort, von der du gar nichts verstehst nicht mit: "Das ist mir bewusst" reagieren, da es ja offensichtlich nicht der fall ist.

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"DAS IST MIR BEWUSST" bezieht sich auf das Ergebnis (5). Was kein Problem darstellt.

Es geht hier um die Grenzen. Diese stellen ein Problem dar.

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Das Intervall lässt sich wie folgt berechnen:

Du rechnest deine Parametrisierung aus, sodass du einen Vektor mit einer Variablen erhältst (die hast du ja schon t genannt). Jetzt wählst du dein Intervall für t so, dass wenn du die Grenzen in deine Parametrisierung einsetzt, der Anfangs und der Endpunkt herauskommen (also in deinem Fall 1|1 und 2|3). Der Anfangspunkt ist der untere Eintrag im Integral und der Endpunkt der obere. Bei geschickter Wahl deiner Parametrisierung kommen dann meist 0 und 1 als Grenzen raus. ez