Hallo,
Bei welchen Abmessungen ist das Volumen der Zylinder möglichst groß?
Mit der Frage kannst du die Hauptbedingung = Volumen des Zylinders aufstellen:
\(V=\pi\cdot r^2\cdot h\)
h = Länge des Zylinder
Sobald dir in einer Aufgabe eine Zahl entgegen springt, handelt es sich um die Nebenbedingung, mit deren Hilfe du eine Variable mit der anderen ausdrücken kannst.
Länge und Umfang der Packung zusammen höchstens 120 cm betragen
\(h+U=120\\ h+2\pi\cdot r=120\\ h=120-2\pi r\)
Ersetze h in der Hauptbedingung durch die rechte Seite der Gleichung.
\(V=\pi\cdot r^2\cdot (120-2\pi r)\)
Löse die Klammer auf, bilde die 1. Ableitung und setze sie = 0 (notwendige Bedingung für Extremstellen). Löse dann nach r auf.
\(V=120\pi\cdot r^2-2\pi^2\cdot r^3\\ V'=240\pi\cdot r-6\pi^2r^2\\ 240\pi\cdot r-6\pi^2r^2=0\\ 240-6\pi r=0\\r=12,73\)
Länge = \(120-2\pi\cdot 12,73=40\)
Gruß, Silvia
