Hallo Valeria,
Willkommen in der Mathelounge!
Nochmal zur Klarstellung, welcher Winkel mit \(\gamma\) gemeint ist. Ich fragte:
... oder der Winkel in der Spitze einer dreieckigen Seitenfläche
Du antwortestes:
Der Winkel ist oben in der Spitze
Ich gehe also davon aus, dass der hier blau markierte WInkel gemeint ist
![blob.png](https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=6350772282853000006)
Einmal den Pythagoras und einmal den Tangens vom halben WInkel. Ist \(m\) die Höhe einer Seitenfläche, \(a\) die Kante der quadratischen Grundfläche und \(h\) die Höhe der Pyramide, so ist$$m = \sqrt{h^2 + \left(\frac a2\right)^2}$$Weiter ist \(m\) die Ankathete und \(a/2\) die Gegenkathete für \(\gamma/2\) im rechtwinkligen Dreieck . Folglich ist$$\tan\left(\frac\gamma2\right) = \frac{a}{2m} = \frac{a}{2\sqrt{h^2 + \left(\frac a2\right)^2}}$$So und dies gilt es nun nach \(a\) aufzulösen:$$\begin{aligned}\tan\left(\frac\gamma2\right) &= \frac{a}{2\sqrt{h^2 + \left(\frac a2\right)^2}} \\2\tan\left(\frac\gamma2\right) \sqrt{h^2 + \left(\frac a2\right)^2} &= a &&|\,^2\\4\tan^2\left(\frac\gamma2\right)\left(h^2 + \left(\frac a2\right)^2\right) &= a^2 \\4\tan^2\left(\frac\gamma2\right)h^2 + 4\tan^2\left(\frac\gamma2\right)\left(\frac a2\right)^2 &= a^2 \\4\tan^2\left(\frac\gamma2\right)h^2 + \tan^2\left(\frac\gamma2\right)a^2 &= a^2 &&|\,-\tan^2\left(\frac\gamma2\right)a^2\\4\tan^2\left(\frac\gamma2\right)h^2 &= a^2 -\tan^2\left(\frac\gamma2\right)a^2\\4\tan^2\left(\frac\gamma2\right)h^2 &= a^2\left(1 -\tan^2\left(\frac\gamma2\right)\right)&&|\,\div \left(1 -\tan^2\left(\frac\gamma2\right)\right)\\\frac{4\tan^2\left(\frac\gamma2\right)h^2}{1 -\tan^2\left(\frac\gamma2\right)} &= a^2 &&|\,\sqrt{}\\a &= \frac{2\tan\left(\frac\gamma2\right)h}{\sqrt{1 -\tan^2\left(\frac\gamma2\right)}}\end{aligned}$$da hast Du Deine 'Formel'
Tipp: die Frage nach der Formel ist immer die falsche Frage. Es ist besser nach Zusammenhängen und Abhängigkeiten zu suchen. Was hängt mit was zusammen?
Gruß Werner