Ich nehme mal an, dass die zugrunde gelegte
Äquivalenzrelation auf \(N\times N\) durch
\((k,l)\sim (m,n)\iff k+n=l+n\) gegeben ist und
\(Z=N\times N/\sim\) die Menge der Äquivalenzklassen
\([m,n]\) sein soll.
Zu (a):
Sei \(j(m)=j(n)\), also \([0,m]=[0,n]\), d.h. \((0,m\sim (0,n)\).
Gemäß Def. von \(\sim\) bedeutet das \(0+n=0+m\),
somit \(m=n\). \(j\) ist damit injektiv.
Zu (b):
Sei \([m,n]\in Z\). Hier gibt es 3 Fälle:
1. Fall: \(m\gt n\). Dann ist \((m,n)\sim (m-n,0)\), also
\([m,n]=[m-n,0]=i(m-n)\).
2. Fall: \(n\gt m\). Dann ist \((m,n)\sim (0,n-m)\), also
\([m,n]=[0,n-m]=j(n-m)\).
3.Fall: \(m=n\). Nun ist \((m,n)=(m,m)\sim (0,0)\), also
\([m.n]=[m,m]=[0,0]=i(0)=j(0)\).
Über (c) kannst du nun sicher alleine nachdenken ...