Zeige, dass die Abbildung injektiv ist

Question

Aufgabe:

Sei j: N → Z durch j(n) = [0,n] definiert.

(a) Zeige, dass die Abbildung j injektiv ist.

(b) Zeige, dass Z = i∗N ∪ j∗N.

(c) Bestimme i∗N ∩ j∗N.

Mit „∗“ ist das Bild gemeint.

Ich habe leider bei keinen der drei Aufgabenteile eine Idee. Ich bitte um Hilfe.

Comments

Was ist denn "i" ?

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„i“ ist die injektive Abbildung i: N → Z mit i(n) = [n,0]

Answer 1

Ich nehme mal an, dass die zugrunde gelegte
Äquivalenzrelation auf \(N\times N\) durch
\((k,l)\sim (m,n)\iff k+n=l+n\) gegeben ist und
\(Z=N\times N/\sim\) die Menge der Äquivalenzklassen
\([m,n]\) sein soll.

Zu (a):

Sei \(j(m)=j(n)\), also \([0,m]=[0,n]\), d.h. \((0,m\sim (0,n)\).

Gemäß Def. von \(\sim\) bedeutet das \(0+n=0+m\),

somit \(m=n\). \(j\) ist damit injektiv.

Zu (b):

Sei \([m,n]\in Z\). Hier gibt es 3 Fälle:

1. Fall: \(m\gt n\). Dann ist \((m,n)\sim (m-n,0)\), also

\([m,n]=[m-n,0]=i(m-n)\).

2. Fall: \(n\gt m\). Dann ist \((m,n)\sim (0,n-m)\), also

\([m,n]=[0,n-m]=j(n-m)\).

3.Fall: \(m=n\). Nun ist \((m,n)=(m,m)\sim (0,0)\), also

\([m.n]=[m,m]=[0,0]=i(0)=j(0)\).

Über (c) kannst du nun sicher alleine nachdenken ...