Schnittgerade zweier Ebenen bestimmen.

Question

Ich soll jetzt die Schnittgerade dieser zwei Ebenen berechnen. Dafür habe ich bereits die beiden Ebenen gleichsetzt (und bei der zweiten Ebene andere Parameter benutzt, da alpha und beta bereits verwendet werden).

Dann kam ich so weit, dass ich die erste Zeile benutzen wollte und die -4 dort durch ein +4 rüber auf die andere Seite gebracht habe, so dass beta alleine steht (also: beta = ...). Allerdings habe ich dann dennoch eine Unbekannte zu viel und komme deswegen nicht mehr weiter.

Answer 1

-4          + ß  =      3a + 4b
3 -3α -3ß     = -2 + a + b
-3 +α +4ß    =  2       + 3b

1. Zeile minus 3* 2.Zeile gibt

-13 +9α         + 10ß  = 6   + b
3 -3α -3ß    = -2 + a + b
-3 +α +4ß    =  2      + 3b

3. Zeile minus 3* 1. Zeile gibt

36  - 26α   +4ß    =  -16

52- 26α  +4ß    = 0

ß =  -13 + 6,5α

In die 1. Ebenengleichung einsetzen

gibt es ne Geradengleichung.

Comments

-4+(-13) + 6,5α.

Aber wie soll ich denn von hier aus auf die Geradengleichung kommen?

Answer 2

Du hast 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Dies System lässt sich reduzieren auf eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Achte darauf dass die beiden Unbekannten Parameter der gleichen Ebene sind. In dieser ersetzt du jetzt den einen Parameter durch den Term des anderen. Das ist nach kleineren Umformungen dann bereits die Gleichung der Schnittgerade.

Answer 3

Hallo,

du kannst eine der Geradengleichungen in die Koordinatenform umwandeln und die einzelnen Koordinaten der anderen Gleichung dort einsetzen:

\( E_{1}:\left(\begin{array}{c}-4 \\ 3 \\ -3\end{array}\right)+\alpha\left(\begin{array}{c} 0\\ -3 \\ 1\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}1\\-3 \\ 4\end{array}\right) \)

\( E_{2}: \quad 3 x-9 y-z=16 \)

\( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4+\beta \\ 3-3\alpha-3\beta \\ -3+\alpha+4\beta\end{array}\right)\)

\( 3(-4+\beta)-9(3-3 \alpha-3 \beta)-(-3+\alpha+4 \beta)=16 \)

\( -12+3 \beta-27+27 \alpha+27 \beta+3-\alpha-4 \beta=16 \)

\( -36+26 \alpha+26 \beta=16 \)

\( 26 \alpha+26 \beta=52 \)

\( 26 \alpha=52-26 \beta \)

\( \alpha=2-\beta \)

Setze in die Parametergleichung der Ebene dieses Ergebnis für alpha ein:

\(s:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 3 \\ -3\end{array}\right)+(2-\beta)\left(\begin{array}{c}0 \\ -3 \\ 1\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 4\end{array}\right) \)

\( =\left(\begin{array}{c}-4 \\ 3 \\ -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0 \\ -6 \\ 2\end{array}\right)-\beta\left(\begin{array}{c}0 \\ -3 \\ 1\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 4\end{array}\right) \)

\( =\left(\begin{array}{l}-4 \\ -3 \\ -6\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) \)

Gruß, Silvia

Answer 4

Du kannst auchg BEIDE Ebenen in Koordinatenform bringen.

Silvia hat bereits

\(E_{1}:\left(\begin{array}{c}-4 \\ 3 \\ -3\end{array}\right)+\alpha\left(\begin{array}{c} 0\\ -3 \\ 1\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}1\\-3 \\ 4\end{array}\right) \)
\( E_{2}: \quad 3 x-9 y-z=16 \)

vorgeschlagen.

E_1 kann man in die Form -9x+y+3z=30

bringen.

Das Gleichungssystem

-9x+y+3z=30

3x-9y-z=16

lässt sich durch verdreifachen der zweiten Gleichung mit anschliedender Addition auf

-26y =78 bringen, woraus y=-3 folgt

Einsetzen von y=-3 in eine der beiden Gleichungen führt auf z=3x+11.

Jetzt brauchen wir nur noch zwei Punkte, deren Koordinaten y=-3 und z=3x+11. erfüllen.

Für x=0 ist das der Punkt (0|-3|11), für x=1 ist das der Punkt (1|-3|14).

Das sind schon mal zwei Punkte der Schnittgerade; für weitere beliebig vorgegebene x wünden wir weitere z-Koordinaten bekommen (y ist hier immer -3).

Für eine Gerade genügen allerdings schon 2 Punkte, die Geradengleichung kann also bereits mit (0|-3|11) und (1|-3|14) in der Form \( \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\-3\\11 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix}\) angegeben bwerden.