Zeigen Sie, dass (f_{n}) uneigentlich gegen ∞ konvergiert für n → ∞ .

Question

Es sei \( \sum \limits_{k \geq 0} a_{k} \) eine divergente Reihe in \( (0, \infty) \) und die Potenzreihe \( \sum \limits_{k \geq 0} a_{k} z^{k} \) besitze den Konvergenzradius 1. Wir definieren
\( f_{n}:=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{k} \quad(n \in \mathbb{N}) . \)
Zeigen Sie, dass \( \left(f_{n}\right) \) uneigent lich gegen \( \infty \) konvergiert für \( n \rightarrow \infty \).

Ich hab probiert mit der Bernoullische Ungleichung nach unten abzuschätzen. Komm damit aber nicht weiter

Answer 1

Hallo,

Deine Idee war schon richtig.

Also es sei \(c>0\) vorgegeben. Zu zeigen ist: \(f_n \geq c\) für hinreichen große n. Da die gegebene Reihe divergent ist, wählen wir ein \(m \in \mathbb{N}\), so dass

$$\sum_{k=0}^ma_k \geq 2c$$

Für \(n \geq 2m\) und \(k \leq m\) gilt

$$(1-\frac{1}{n})^k \geq (1-\frac{1}{n})^m \geq 1-\frac{m}{n} \geq 1-\frac{m}{2m}=\frac{1}{2}$$

Also gilt für \(n \geq 2m\):

$$f_n=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(1-\frac{1}{n})^k\geq \sum_{k=0}^m a_k(1-\frac{1}{n})^k \geq \frac{1}{2} 2c=c$$

Gruß Mathhilf