Bestimmen Sie eine Funktion f: ℝ → ℝ, sodass (f_{n})_{n ≥ 1} punktweise gegen f konvergiert

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \geq 1} \) mit

$$ f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{1+|x|^{n}} $$

(a) Bestimmen Sie eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), sodass \( \left(f_{n}\right)_{n \geq 1} \) punktweise gegen \( f \) konvergiert.

(b) Überprüfen Sie, ob \( \left(f_{n}\right)_{n \geq 1} \) auch gleichmäßig gegen \( f \) konvergiert.

Comments

Hallo,

"punktweise Konvergenz" bedeutet, dass für jeden Punkt x aus dem Definitionsbereich die reelle Folge der Funktionswerte \((f_n(x))\) konvergiert. Wenn das der Fall ist, definieren die Grenzwerte eine neue Funktion, die hier f genannt wird.

Also: Was ist der Grenzwert \(\lim_{n \to \infty} f_n(x)\)? (Der wird im allgemeinen von x abhängen)

Gruß Mathhilf

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Der Grenzwert wäre 0, oder?

Answer 1

Hallo,

Du musst zunächst eine Fallunterscheidung bei der Konvergenz machen:

1. Wenn |x|<1 ist, dann gilt \(|x|^n \to 0\), also \(f_n(x) \to 1=:f(x)\)

2. Wenn |x|=1 ist, dann ist \(f_n(x)=0.5=:f(x)\)

3. Wenn |x|>1 ist, dann gilt \(|x|^n \to \infty\), also \(f_n(x) \to 0=:f(x)\)

(Lass Dir mal mit einem Programm einige Graphen von \(f_n\) zeichnen, damit Du siehst, wie es abläuft.)

Zur gleichmäßigen Konvergenz: Es gibt einen Satz (musst Du mal mit Deiner Vorlesung checken): Wenn eine Folge \((f_n)\) von stetigen Funktionen gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert, dann ist auch f stetig,

In diesem Beispiel ist die Grenzfunktion f nicht stetig (Sprung bei x=1 und x=-1). Deshalb kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

WARNUNG: Dies ist eine spezielle Situation, die eine schnelle Antwort ermöglicht. Der Satz beinhaltet keine Äquivalenzaussage.

Gruß Mathhilf

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Vielen Dank! Das hilft mir sehr!