Prüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen Untervektorräume von \mathbb{R}[x]_{\leq d} sind:

Question

Aufgabe:

Sei \( d \geq 2 \) und \( \mathbb{R}[x]_{\leq d}=\{f \in \mathbb{R}[x] \mid \operatorname{deg} f \leq d\} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad \( \leq d \). Prüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen Untervektorräume von \( \mathbb{R}[x]_{\leq d} \) sind:

a) \( U_{1}=\left\{f \in \mathbb{R}[x]_{\leq d} \mid f(0)=0\right\} \)
b) \( U_{2}=\left\{f \in \mathbb{R}[x]_{\leq d} \mid f(0)=5\right\} \)
c) \( U_{3}=\left\{f \in \mathbb{R}[x]_{\leq d} \mid f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)=0\right\} \)

Comments

Ihr habt doch sicher ein Kriterium aufgestellt, unter welchen Bedingungen eine Teilmenge ein Unterraum ist. Vielleicht kannst Du das mal hier angeben, damit wir eine Gesprächsgrundlage haben.

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Vom Duplikat:

Titel: rüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind:

Stichworte: untervektorraum

Aufgabe:

. Sei \( d \geq 2 \) und \( \mathbb{R}[x]_{\leq d}=\{f \in \mathbb{R}[x] \mid \operatorname{deg} f \leq d\} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad \( \leq d \). Prüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen Untervektorräume von \( \mathbb{R}[x]_{\leq d} \) sind:

a) \( U_{1}=\left\{f \in \mathbb{R}[x]_{\leq d} \mid f(0)=0\right\} \)
b) \( U_{2}=\left\{f \in \mathbb{R}[x]_{\leq d} \mid f(0)=5\right\} \)
c) \( U_{3}=\left\{f \in \mathbb{R}[x]_{\leq d} \mid f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)=0\right\} \)

Answer 1

Hallo

gewöhn dir nicht an, Fragen doppelt zu stellen, das erhöht deine Chancen auf Antwort nicht sondern verärgert Helfer, wenn du Kommentare kriegst antworte darauf, statt sie zu ignorieren und die Frage einfach neu einzustellen.

1. Kriterium liegt der Nullvektor in U

2. Kriterium ist r*f  in U, wenn f in U

3.Kriterium liegt f+g in U wenn f,g in U

das ist alles leicht zu überprüfen, man muss es nur ordentlich aufschreiben

Gruß lul

Answer 2

a) Ja, weil

1. Nullpolynom drin ist

2. wenn zwei beliebige Polynome f und g , wobei die beiden gleich 0 sind, wenn man in beiden den Definitionswert 0 einsetzt, in U1 drin sind, sind auch ihre Summe drin. Also f(0)+g(0)=0+0=0

3. Wenn ein beliebiges Polynom drin ist, dann ist auch das Vielfache davon drin, denn die Polynome haben hier Koeffizienten nur mit x-Variablen mit unterschiedlichen Exponenten und wenn man das Vielfache von denen nimmt, sind die nach dem Einsetzen von 0 auch wieder 0.

b) Nein, z.B. sei f(x)=x+5 und g(x)=x^2+5. f und g sind hier zwar in U2 (für d=2), aber ihre Summe nicht, da ihre Summe gleich x^2+x+10 ist und mit dem Einsetzen von 0 kommt da 10 raus, also ist f+g nicht in U2.