0 Daumen
429 Aufrufe

Aufgabe:

Aufgabe \( 4 . \) Bilden die Vektoren
\( \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)
eine Basis von \( \mathbb{R}^{4} ? \) Beweisen Sie Ihre Behauptung.

Avatar von

Vom Duplikat:

Titel: was ist eine Basis von ℝ^{4}?

Stichworte: basis

Aufgabe:

Aufgabe \( 4 . \) Bilden die Vektoren
\( \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \)
eine Basis von \( \mathbb{R}^{4} ? \) Beweisen Sie Ihre Behauptung.

2 Antworten

0 Daumen

Aloha :)

Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das die Spaltenvektoren bzw. die Zeilenvektoren aufspannen. Wenn die Vektoren eine Basis des \(\mathbb R^4\) bilden, dann muss das von ihnen aufgespannte \(4\)-dimensionale Volumen \(\ne0\) sein.

Zur Berechnung der Determinante möchte ich daran erinnern, dass man Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren kann, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Gleiches gilt für die Spalten. Damit begeben wir uns an die Berechnung der Determinante:$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\3 & 2 & 0 & 0\\2 & 2 & 0 & 1\end{array}\right|\stackrel{S_1-=S_2}{=}\left|\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\1 & 2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\2 & 0 & 1\end{array}\right|\stackrel{S_1-=S_3}{=}\left|\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}\right|$$$$=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right|=-1$$Die Vektoren bilden also eine Basis des \(\mathbb R^4\).

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Hallo

je 4 linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis des R^4

also zeige das

lul

Avatar von 108 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community