Aloha :)
Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das die Spaltenvektoren bzw. die Zeilenvektoren aufspannen. Wenn die Vektoren eine Basis des \(\mathbb R^4\) bilden, dann muss das von ihnen aufgespannte \(4\)-dimensionale Volumen \(\ne0\) sein.
Zur Berechnung der Determinante möchte ich daran erinnern, dass man Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren kann, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Gleiches gilt für die Spalten. Damit begeben wir uns an die Berechnung der Determinante:$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\3 & 2 & 0 & 0\\2 & 2 & 0 & 1\end{array}\right|\stackrel{S_1-=S_2}{=}\left|\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\1 & 2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\2 & 0 & 1\end{array}\right|\stackrel{S_1-=S_3}{=}\left|\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}\right|$$$$=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right|=-1$$Die Vektoren bilden also eine Basis des \(\mathbb R^4\).
