Aloha :)
$$f(x)=\frac{1}{x+1}\quad;\quad f'(x)=\frac{-1}{(x+1)^2}\quad;\quad f''(x)=\frac{2}{(x+1)^3}\quad;\quad f'''(x)=\frac{-6}{(x+1)^4}$$Wie vermuten daher für die \(n\)-te Ableitung:$$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n\cdot n!}{(x+1)^{n+1}}\quad;\quad n\in\mathbb N_0$$Diese Vermutung müssen wir durch vollständige Induktion beweisen. Die Verankerung für \(n=0\) ist offensichtlich. Im Induktionsschritt gehen wir von der Induktionsvoraussetzung aus und leiten sie ab:$$f^{(n+1)}(x)=(-1)^n\cdot n!\cdot\left(\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)'=(-1)^n\cdot n!\cdot\left(-\frac{(n+1)}{(x+1)^{n+2}}\right)$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=(-1)^{n+1}\cdot\underbrace{ n!\cdot(n+1)}_{=(n+1)!}\cdot\frac{1}{(x+1)^{n+2}}=\frac{(-1)^{n+1}\cdot(n+1)!}{(x+1)^{(n+1)+1}}\quad\checkmark$$
Speziell an der Stelle \(x=2\) gilt daher:$$\frac{f^{(n+1)}(2)}{f^{(n)}(2)}=\frac{\frac{(-1)^{n+1}\cdot (n+1)!}{(2+1)^{n+2}}}{\frac{(-1)^n\cdot n!}{(2+1)^{n+1}}}=\frac{(-1)^{n+1}\cdot (n+1)!}{3^{n+2}}\cdot\frac{3^{n+1}}{(-1)^n\cdot n!}=\frac{-(n+1)}{3}$$$$f^{(n+1)}(2)=-\frac{n+1}{3}\,f^{(n)}(2)\quad;\quad f^{(0)}(2)=\frac13$$
