Zeigen Sie, dass die beiden Relationen Äquivalenzrelationen darstellen.

Question

Aufgabe:

Für a, b ∈ Z ∖ {0} gelte: a ∼ b ∶⇐⇒ 3 ∣ 5a − 2b

Zeigen Sie, dass die beiden Relationen Äquivalenzrelationen darstellen.
Bestimmen Sie die Äquivalenzklasse von 2

Problem/Ansatz:

Ich habe fest gestellt es gibt 3 Äquivalenzklassen

Rest 0   (3,6,9)

Rest 1   (1,4,7)

Rest 2   (2,5,8)

folgendes habe ich auch herausgefunden.

a Relation b

hat die folgenden Relationen:

Sie ist Reflexiv, Symmetrisch a => b   / b => a und es ist Transitiv.

Mein Problem wäre jetzt:

Reflexiv konnte ich beweisen durch einfaches einsetzen :

Sei a = b = 1

5 * a - 2 * b =   5-2 = 3 und 3 ist ein Teiler von 3

Meine Frage wäre jetzt.. wie genau kann ich die Symmetrie bzw. Transitiv beweisen.

Ich danke Ihnen schonmal!

Answer 1

Auf die Schnelle:

Symmetrie; ist 5a-2b=3x für eine ganze Zahl x, so ist 5b-2a=3(b-x+a).

Transitivität: Ist 5a-2b=3x und 5b-2c=3y für ganze x,y,

so ist 5a-2c=3(x+y-b).

Dein Nachweis der Reflexivität ist falsch, müsste so lauten:

Für beliebiges ganzes a (ungleich 0) gilt

5a-2a=3a.